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x 와 y 에 대한 이차방정식 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y + F = 0 (A≠0 ( A ≠ 0 또는 B≠0 B ≠ 0 또는 C≠0) C ≠ 0 ) 으로 나타내어지는 곡선을 이차곡선이라 한다.
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포물선, 타원, 쌍곡선의 정의로부터 그의 방정식을 유도합니다. 정의로부터 시작해서 정의를 이용하여 모든 문제들을 해결할 수 있습니다. 이차곡선의 여러가지 성질들이 유도되는 과정을 확인하세요^^
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원뿔곡선 – 나무위키:대문
원뿔곡선은 위 아래로 연장된 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나오는 곡선을 의미한다. 종류로는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다. 2. 특징[편집].
Source: namu.wiki
Date Published: 12/10/2022
View: 9100
한눈에 쏙 들어오는 이차곡선
(6) 포물선의 두 접선이 직교하면, 두 접선의 교점은 준선 위에 있다. Page 2. – 2 -. Ⅱ. 타원. 이차곡선.
Source: www.cbmath.com
Date Published: 4/4/2022
View: 2517
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주제에 대한 기사 평가 이차 곡선
- Author: 한석만TV
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- Date Published: 2020. 3. 26.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=KKMByY6CKeI
이차곡선(conic section)
$x$와 $y$에 대한 이차방정식 $Ax^2 +By^2 +Cxy+Dx+Ey+F=0$ $ (A
ot=0$ 또는 $B
ot=0$ 또는 $C
ot =0)$으로 나타내어지는 곡선을 이차곡선이라 한다. 일반적으로 원 , 포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 이차곡선이다.
원(circle)
한 정점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합을 원이라고 한다. 정점을 `C (a,b)` 일정한 거리를 `r`이라 할 때, 원 위의 점 `P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내면 `\sqrt{(x-a)^2 +(y-b)^2} =r`이므로 `(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2`이다.
포물선(parabola)
한 정점과 정직선에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다.
그림 가져온 곳 : http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html
정점 `F(a,0)`과 정직선 `x=-a`에 이르는 거리가 같은 점`P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내보자. `P`에서 직선에 이르는 거리는 `|x+a|`이고 `\overline{PF}`의 길이는 `\sqrt{(x-a)^2 +y^2 }`이다.
`|x+a|=\sqrt{(x-a)^2 +y^2 }`양변을 제곱하여 정리하면
`x^2 +2ax+a^2 =x^2 -2ax+a^2 +y^2`
`y^2 =4ax`이다.
정점 `F(a,0)`를 초점(focus)이라 하고 정직선 `x=-a`를 준선(derectrix)이라고 한다.
그림처럼 준선과 수직인 방향(혹은 포물선의 대칭축과 평행)으로 진행하는 빛은 모두 초점에 모인다. 그리스 수학자Menaechmus는 원뿔과 평면의 교선으로 연구하였다.
타원(ellipse)
두 정점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다.
그림 가져온 곳 : http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
두 정점 `F(c,0)`, `F'(-c,0)`에 이르는 거리의 합이 `2a`인 점`P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내보자. $$\overline{PF}+\overline{PF’}=2a$$
$$\sqrt{(x-c)^2 +y^2 }+\sqrt{(x+c)^2 +y^2} =2a$$이다.
$$\sqrt{(x-c)^2 +y^2 }=2a-\sqrt{(x+c)^2 +y^2}$$양변을 제곱하여 정리하면
$$(a^2 -c^2 )x^2 +a^2 y^2 =a^2(a^2-c^2 )$$
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1 (단, a>b>0, b^2 = a^2 -c^2)$$ 이다.
정점 `F(c,0), F'(-c,0)`를 초점이라 한다. 가장 긴 현을 장축 가장 짧은 현을 단축이라고 한다. 단축과 장축을 교점을 타원의 중심이라고 한다.
쌍곡선(hyperbola)
두 정점에 이르는 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라고 한다.
그림 가져온 곳 : http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html
두 정점 `F(c,0)`, `F'(-c,0)`에 이르는 거리의 차가 `2a`인 점`P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내보자. $$|\overline{PF’}-\overline{PF}|=2a$$
$$\sqrt{(x+c)^2 +y^2 }-\sqrt{(x-c)^2 +y^2} =2a$$
이다.
$$\sqrt{(x+c)^2 +y^2 }=2a-\sqrt{(x-c)^2 +y^2 }$$
양변을 제곱하여 정리하면
$$( c^2 – a^2 )x^2 -a^2 y^2 =a^2( c^2 – a^2 )$$
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 (단, c>a>0, b^2 = c^2 -a^2)$$ 이다. 정점 `F(c,0), F'(-c,0)`를 초점이라 한다.
쌍곡선이 `x`축과 만나는 두 점을 꼭지점이라 하고 두 꼭지점을 연결하는 선분을 주축이라 한다. 주축의 중점이 쌍곡선의 중심이다.
이차곡선 위의 점 `P`와 준선과 초점에 이르는 거리의 비율 $\displaystyle{\frac{\overline{PF}}{\overline{PH}} =e}$로 정의하기도 한다. 이를 이심율(Eccentricity)라고 하며, 타원이나 쌍곡선의 경우 $\displaystyle{e= \frac{c}{a} }$로 계산된다.
이심률에 따라 `e=0`이면 원 `0 < e < 1`이면 타원(Ellipse), `e = 1 `이면 포물선(Parabola), ` e > 1`이면 쌍곡선(Hyperbola)이다.
이차곡선을 원뿔곡선(ConicSection)이라고 부르는 것은 그리스 시대 수학자들의 연구와 관련있다. ‘Ellipse’, ‘Parabola’, ‘Hyperbola’ 는 각각 그리스어 ‘모자라다’, ‘적당하다’, ‘넘치다’는 뜻을 가지고 있다.
아래 그림에서 원뿔 모선과 밑면이 이루는 각 $\alpha$과 원뿔을 자르는 면과 원뿔 밑면이 이루는 각 $\beta$가 이루는 관계를 말한다.
$$\alpha>\beta\;\;Ellipse,\quad \alpha=\beta\;\;Parabola,\quad \alpha<\beta\;\;Hyperbola$$
위키백과, 우리 모두의 백과사전
포물선 e = 1 원과 타원 e < 1 쌍곡선 e > 1 원뿔 곡선.
수학에서 원뿔 곡선(圓뿔曲線, 영어: conic section) 또는 원추 곡선(圓錐曲線은 평면으로 원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선을 말한다. 원뿔의 모선과 밑면의 사잇각 α와 자르는 평면과 밑면의 사잇각 β를 생각할 때, α = β이면 포물선, α > β이면 타원(또는 원), α < β이면 쌍곡선이 된다. 원뿔 곡선들이 공유하는 속성으로 초점, 이심률, 준선이 있다. 타원은 두 초점과의 거리의 합이 일정한 평면 곡선이고, 쌍곡선은 두 초점과의 거리의 차가 일정한 평면 곡선이다. 원뿔곡선은 초점과의 거리와 준선과의 거리의 비인 이심률이 일정한 평면 곡선이다. 대수적인 관점에서, 평면 위의 어떤 곡선이 원뿔 곡선일 필요충분조건은, 그 곡선의 방정식의 차수가 2인 것이다. 따라서 원뿔 곡선을 다른 말로 2차 곡선이라고 부르기도 한다. 광학적 성질 [ 편집 ] 빛의 반사는 초점을 지나는 광선을 보존한다. (여기서 광선은 직선으로서의 의미이다.) 자세히 말해, 원뿔 곡선을 경계로 하는 이차원 공간에서, 초점을 지나는 광선의 반사 광선은 여전히 (다른 한) 초점을 지난다. 세부 사항은 곡선 종류마다 이모저모로 다른데, 초점을 지나쳐온 광선은 타원의 경우 다른 한 초점이 위치하는 방향으로 반사되고, 쌍곡선은 그 반대 방향으로 반사된다. 초점이 하나뿐인 포물선에서는 준선과 수직인 방향, 즉 대칭축과 평행하는 방향으로 반사되는데, 이는 두 번째 초점이 무한히 멀리 있다 여길 때 앞의 결론에 부합한다. 같이 보기 [ 편집 ]
[기하와 벡터 05탄] 이차곡선 접선들의 수직
01. 이차곡선과 접선들의 수직을 시작하며…
이차곡선에서 접선과 관련된 내용 중에서 교과서에서는 잘 언급되지 않으나 학교 내신이나 논술 시험에서 연계하여 출제 될수 있는 내용인데 포물선, 타원, 쌍곡선에서 두 접선이 수직일때 교점의 자취에 대해서 이번 시간에 알아보도록 하겠습니다.
교점의 자취를 구하는 과정에서 접선의 방정식과 근과계수 관계가 연계되어 사용되기 때문에 이차곡선을 공부할 때 한번 정도 학습을 해두면 효과적일 것 같아서 포스팅을 합니다.
열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다….파이팅^^
02. 포물선과 접선들의 수직
03. 타원과 접선들의 수직
04. 쌍곡선과 접선들의 수직
키워드에 대한 정보 이차 곡선
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