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이진수의 계산법은, 매우 간단합니다. 덧셈은 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 이 세가지만 있고요. 곱셈은 0*0=0, 0*1=0, 1*1=1 이 세가지만 있습니다. 나머지 받아올림 같은건 십진법을 쓸 때와 같은 방법으로 계산하시면 됩니다.
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모스부호는 이진법과 많이 닮았다고 한다.
그렇다면 이진법으로는 숫자를 어떻게 표현할까?
또 바코드, QR코드도 모두 이진법의 원리라고 하는데,
함께 이진법으로 숫자를 표현하는 방법을 알아본다.
▶full영상: https://youtu.be/BObgKqzJIZI
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2진수,10진수계산법/이진수,십진수 계산법(빠른 계산법)/이진법,십진법 계산. 공부가싫다가도좋아 2021. 3. 9. 11:35.
Source: eunhee-programming.tistory.com
Date Published: 2/23/2021
View: 4068
이진수 이진법 계산 십진수 십진법 변환 바꾸는 방법!-2진법 10 …
이진수계산방법과, 이진법 십진법에 대한 개념을 잡고 십진수 변환까지 해볼게요. . 이진수는 0과 1로 만든 모든 수를 표현하게 됩니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 4/7/2022
View: 7929
2진법 계산기
관습적으로 0과 1의 기호를 쓰며 이들로 이루어진 수를 이진수라고 합니다. 2진법 계산기는 어떻게 사용하나요? 변환 체계를 이해하는 것은 쉽지만 직접 계산하는 것은 …
Source: ko.calcuworld.com
Date Published: 3/12/2022
View: 2719
이진수 십진수 계산기 – 후니소프트
컴퓨터에서 사용하는 이유는 10진법보다 빠르고 간편하게 계산이 가능하기 때문인데요. 사람들은 이진법을 잘 사용할 일 이 없지만 변환이 필요한 경우 위 이진수 …
Source: jhnsoft.dothome.co.kr
Date Published: 12/5/2022
View: 4020
이진 계산기 | 이진수 시스템 – PureCalculators
이러한 차이점을 제외하고 덧셈, 뺄셈 및 곱셈과 같은 연산은 모두 십진법과 동일한 규칙을 사용하여 계산됩니다. 논리 게이트가 있는 디지털 회로에서 …
Source: purecalculators.com
Date Published: 10/13/2021
View: 5476
2진수의 수와 음수 표현법 [1의 보수와 2의 보수] – Stranger’s LAB
기본적으로 이진수의 덧셈은 다음과 같습니다. … 올림이 발생하지 않으면 결과는 음수이고 계산 결과값의 보수 값이 최종 값이 된다.
Source: st-lab.tistory.com
Date Published: 10/11/2022
View: 4969
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주제에 대한 기사 평가 이진수 계산법
- Author: YTN 사이언스
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- Date Published: 2021. 1. 21.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=_b3BlbSI8kM
이진수 계산법
낙서장 이진수 계산법 화이트 이웃추가
이진수는 0과 1, 이 두 숫자만으로 수를 표현하는 진법을 말합니다.
몇 진법, 몇 진법 그럴때는 몇 개의 숫자로 수를 표현하는가로 진법을 구분하는데,
우리가 보통 쓰는 십진법은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 이렇게 10개의 숫자를 쓰지만
이진법은 2개의 숫자만 씁니다. 그리고 팔진수는 0부터 7까지의 8개 숫자만 쓰구요.
이진수의 계산법은, 매우 간단합니다.
덧셈은 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 이 세가지만 있고요.
곱셈은 0*0=0, 0*1=0, 1*1=1 이 세가지만 있습니다.
나머지 받아올림 같은건 십진법을 쓸 때와 같은 방법으로 계산하시면 됩니다.
만약 10+11 이란 문제가 있다고 하면 일의 자리의 수 0과 1을 더하면 1이고,
십의 자리의 수 1과 1을 더하면 10이므로, 답은 101이 됩니다.
11*11 이란 문제를 풀어보면 11*1=11, 11*10=110 이므로 1001 이 됩니다
(받아올림에 주의하세요. 1 다음에는 10입니다)
110-11 을 풀어보면 일의 자리는 0-1, 받아내림 해주면 10-1이 되어 1이 되고
십의 자리는 0-1(받아내림 했습니다) 이것도 받아내림 해주면 10-1이 되어 1이 되어서
11이 됩니다(백의 자리의 수는 받아내림 했습니다).
위에서는 편의상 일의 자리, 십의 자리, 백의 자리 라고 했는데 원래는 그렇게 말하면 틀립니다.
1의 자리, 2^1의 자리, 2^2의 자리입니다.
그리고 십진수를 이진수로 고치는 방법은 계속 2로 나누면서 나오는 나머지를 거꾸로 쓰면 됩니다.
11을 고쳐 봅시다.
11 ÷2 = 5…1
5 ÷2 = 2…1
2 ÷2 = 1…0
1 ÷2 = 0…1
거꾸로 써주면 1011이 됩니다.
이진수를 십진수로 고치는 방법은 1의 자리는 1의 자리 수에 1을 곱하고
십의 자리는 십의 자리 수에 2^1(2입니다)을 곱하고
백의 자리는 백의 자리 수에 2^2(4입니다)를 곱하고
천의 자리는 천의 자리 수에 2^3(8입니다)을 곱하고… 이와 같은 방법으로 하시면 됩니다.
읽다가 2^1, 2^2 같은 것은 2^1 이면 2를 1번 곱한 수 2이고, 2^2면 2를 2번 곱한 수 4(2*2)이고,
2^3이면 2를 3번 곱한 수 8(2*2*2)입니다.
2진수,10진수계산법/이진수,십진수 계산법(빠른 계산법)/이진법,십진법 계산
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10진수,2진수 계산법
10진수,2진수,8진수,16진수 표
10진수에서 2진수로 계산하는 방법은 두개가 있습니다.
하나는 기본적인 계산법, 또 다른 하나는 빠른 계산법입니다.
10진수->2진수 계산법 (기본 계산법)
10진수 27을 2진수로 바꾸기
10진수 27의 2진수는 11011 입니다. (아래 1부터 읽어옵니다.)
10진수->2진수 계산법 (빠른 계산법)
10진수 300을 2진수로 바꾸기
1. 일단, 2의 제곱표를 봅시다.
2. 2의 제곱중 300과 같거나 300보다 바로 아래인 수를 봅시다.
300보다 바로 아래인 2의 제곱은 2^8=256입니다.
그 다음 300-256=44 입니다.
3. 2의 제곱중 44와 같거나 44보다 바로 아래인 수를 봅시다.
44보다 바로 아래인 2의 제곱은 2^5=32 입니다.
44-32=12
4. 2의 제곱중 12와 같거나 12보다 바로 아래인 수를 봅시다.
112보다 바로 아래인 2의 제곱은 2^3=8입니다.
12-8=4
5. 2의 제곱중 4와 같거나 4보다 바로 아래인 수를 봅시다.
4같은 경우는 2의 제곱중 2^2=4 와 같으므로 2^2를 봅니다.
6. 이제 까지 나온 수를 정리해보면
2^8, 2^5, 2^3, 2^2 가 한번씩 나왔습니다.
7. 표를 봅니다.
나온 제곱근중 2^8이 제일 큰수이므로 2^8부터 2^0까지 나열합니다.
계산할때 쓰인 숫자 2^8,2^5,2^3,2^2. 는 모두 1
안쓰인 숫자는 모두 0으로 표시하면
100101100 이라는 숫자가 나옵니다.
그러므로 300의 2진수는 100101100 입니다.
2진수->10진수 계산법
이진수 100101100을 다시 십진수로 바꿔서 300이 맞나 확인해 보겠습니다.
2^8*1 + 2^7*0 + 2^6*0 + 2^5*1 + 2^4*0 + 2^3*1 + 2^2*1 + 2^1*0 + 2^0*0
=256+0+0+32+0+8+4+0+0
=300
2진수에서 8진수, 10진수에서 8진수계산법을 원하시면 아래 링크를 참고해 주세요.
2021.03.22 – [C언어] – 8진수,10진수계산법/2진수에서 8진수로/팔진수,십진수 계산법(빠른 계산법)/팔진법,십진법 계산
10진수,16진수/2진수,16진수/16진수,10진수 계산법을 원하시면 아래 링크를 참고해주세요.
2021.03.23 – [C언어] – 16진수,10진수계산법/2진수에서 16진수로/십육진수,십진수 계산법/십육진법,십진법 계산
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십진수를 이진수로 바꾸는 법
{“smallUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1a\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-5-Version-4.jpg\/v4-460px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-5-Version-4.jpg”,”bigUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1a\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-5-Version-4.jpg\/v4-728px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-5-Version-4.jpg”,”smallWidth”:460,”smallHeight”:345,”bigWidth”:728,”bigHeight”:546,”licensing”:”
<\/div>“} 1 차트를 만드는 것으로 시작해보세요. “기저가 2인 숫자표” 를 만들어 오른쪽부터 왼쪽으로 가며 2의 제곱승을 적어보세요. 20을 적은 뒤, 이를 “1”과 같다고 쓰세요. 제곱승을 하나씩 늘리세요. 처음 시작했던 십진수 값과 가까워질 때까지 이 과정을 계속 반복하세요. 위의 예제의 경우, 십진수 값 156 10 을 이진수로 고치세요.{“smallUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c0\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-6-Version-4.jpg”,”bigUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c0\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-6-Version-4.jpg”,”smallWidth”:460,”smallHeight”:345,”bigWidth”:728,”bigHeight”:546,”licensing”:”
<\/div>“} 2 가장 높은 2의 제곱승를 찾으세요. 당신이 변환시킬 숫자에 견줄 수 있을 정도로 가장 큰 숫자를 찾으세요. 156에 들어갈만한 가장 큰 2제곱승은 128입니다. 그러므로 당신이 만든 차트 가장 왼쪽 이진수 자리에 1을 써넣으세요. 그런 뒤, 원래 값에서 128을 빼세요. 이제 28이 남습니다.{“smallUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-7-Version-4.jpg\/v4-460px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-7-Version-4.jpg”,”bigUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-7-Version-4.jpg\/v4-728px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-7-Version-4.jpg”,”smallWidth”:460,”smallHeight”:345,”bigWidth”:728,”bigHeight”:546,”licensing”:”
<\/div>“} 3 다음으로 큰 2제곱승을 찾으세요. 새로운 숫자(28) 안에 각 2제곱승수가 몇 개씩 들어갈 수 있는지 알아내세요. 64는 28안에 안 들어갑니다. 그러므로 다음에 올 수는 0입니다. 이를 오른쪽에 쓰세요. 28 안에 들어갈 수 있는 숫자가 올 때까지 이 방법을 계속 반복하세요.{“smallUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/22\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-8-Version-4.jpg\/v4-460px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-8-Version-4.jpg”,”bigUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/22\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-8-Version-4.jpg\/v4-728px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-8-Version-4.jpg”,”smallWidth”:460,”smallHeight”:345,”bigWidth”:728,”bigHeight”:546,”licensing”:”
<\/div>“} 4 각 숫자가 들어갈 수 있을 때마다 이를 뺀 뒤 1을 적어 넣으세요. 16은 28안에 들어갑니다. 그러므로 1을 적으세요. 16을 28에서 빼세요. 이제 12가 남습니다. 8은 12 안에 들어갈 수 있어요. 8값 박스 밑에 1을 적고 12에서 빼세요. 이제 4가 남습니다.{“smallUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/45\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-9-Version-4.jpg\/v4-460px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-9-Version-4.jpg”,”bigUrl”:”https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/45\/Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-9-Version-4.jpg\/v4-728px-Convert-from-Decimal-to-Binary-Step-9-Version-4.jpg”,”smallWidth”:460,”smallHeight”:345,”bigWidth”:728,”bigHeight”:546,”licensing”:”
<\/div>“} 5 차트 끝에 달할 때까지 계속 진행하세요. 새로운 숫자 안에 들어갈 수 있는 제곱승수를 찾을 때마다 1을 적으세요. 들어가는 수가 없다면 0을 적으세요.이진수 이진법 계산 십진수 십진법 변환 바꾸는 방법!-2진법 10진법 정의 : 네이버 블로그
이진수 이진법 계산 십진수 십진법 변환 바꾸는 방법!-네트워크기초
안녕하세요. 오늘은 네트워크기초에 대해 알아보도록 할게요.
이진수계산방법과, 이진법 십진법에 대한 개념을 잡고 십진수 변환까지 해볼게요.
이진수는 0과 1로 만든 모든 수를 표현하게 됩니다.
2의 0승 = 1
2의 1승 = 2
2의 2승 = 4
2의 3승 = 8
2의 4승 = 16
2의 5승 = 32
2의 6승 = 64
2의 7승 = 128
2의 8승 = 256
2의 9승 = 512
2의 10승 = 1024
2진법 계산기
우리의 2진법 계산기를 가지고 10진수를 2진수로 간단하게 변환해보세요.
10진수를 2진수로 변환하기 10진수 2진수 2진수로 변환하기
2진수를 10진수로 변환하기 2진수 10진수 10진수 변환하기
이 계산기를 당신의 웹사이트에서 사용해보세요
[was-this-helpful]우리의 2진법 계산기를 가지고 10진수를 2진수로 간단하게 변환해보세요.
2진법 계산기를 사용하여 어떻게 10진수를 2진수로 바꾸나요?
2진법 계산기는 10진수를 2진수로 쉽게 바꿀 수 있습니다. 이것을 하는데 매우 간단한 변환이 사용됩니다. 2진법은 두 개의 숫자만을 이용하는 수 체계입니다. 관습적으로 0과 1의 기호를 쓰며 이들로 이루어진 수를 이진수라고 합니다.
2진법 계산기는 어떻게 사용하나요?
변환 체계를 이해하는 것은 쉽지만 직접 계산하는 것은 어렵습니다. 그러므로 우리가 제공하는 이진법 계산기를 사용하는 것이 효율적입니다. 계산기 사용법은 먼저 당신이 변환하고자 하는 수치를 입력하고 계산하기 버튼을 클릭하면 됩니다. 바로 변환된 수치를 확인할 수 있습니다.
이진수 십진수 계산기
이진법이란?
이진법는 0과 1만을 사용하는 숫자 체계로 컴퓨터에서 계산을 할 때 사용하는 진법 입니다. 컴퓨터에서 사용하는 이유는 10진법보다 빠르고 간편하게 계산이 가능하기 때문인데요. 사람들은 이진법을 잘 사용할 일 이 없지만 변환이 필요한 경우 위 이진수 계산기를 사용하면 쉽게 계산기 가능합니다.
사용법
10진수에서 2진수로 진수를 변환하려면 10진수의 숫자(32, 57) 등 숫자를 입력하시면 됩니다. 2진수를 10진수로 변환하려면 0과 1로 된 2진수 숫자를 입력해 주시길 바랍니다.
이진수 시스템
이진법은 대부분의 사람들이 더 잘 알고 있는 십진법과 거의 똑같이 작동하는 수치 시스템입니다. 십진법의 기수는 10이고 이진법은 10입니다. 이진법은 2를 사용하고 십진법은 10을 사용하고 이진법은 1을 사용하며 이를 비트라고 합니다. 이러한 차이점을 제외하고 덧셈, 뺄셈 및 곱셈과 같은 연산은 모두 십진법과 동일한 규칙을 사용하여 계산됩니다.
논리 게이트가 있는 디지털 회로에서 구현이 간단하기 때문에 거의 모든 현대 기술과 컴퓨터는 이진 시스템을 사용합니다. 더 많은 상태를 보는 것보다 두 가지 상태(켜짐 및 꺼짐, 참/거짓 또는 존재/부재)만 감지할 수 있는 하드웨어를 설계하는 것이 더 쉽습니다. 십진법을 사용하여 10개 상태를 감지할 수 있는 하드웨어가 필요하며 이는 더 복잡합니다.
다음은 10진수, 16진수 및 2진수 값 간의 변환에 대한 몇 가지 예입니다.
Decimal Hex Binary
0 0 0
1 1 1
2 2 10
3 3 11
5 5 101
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
50 32 110010
63 3F 111111
100 64 1100100
1000 3E8 1111101000
10000 2710 10011100010000
십진수를 이진수로 변환하는 방법
다음 단계별 절차에 따라 십진법을 변환할 수 있습니다.
2와 주어진 숫자 사이의 가장 큰 거듭제곱 찾기
주어진 숫자에 그 값을 더하십시오
2와 2단계의 나머지 사이에서 가장 큰 거듭제곱 찾기
더 이상 없을 때까지 계속 반복
이진 자리 값을 나타내려면 1을 입력합니다. 0은 그러한 값이 없음을 나타냅니다.
이진수를 십진수로 변환하는 방법
십진수의 모든 위치가 10의 거듭제곱을 나타내는 것처럼 이진수의 모든 위치는 2의 거듭제곱을 나타냅니다.
십진수로 변환하려면 각 위치에 위치 번호의 거듭제곱 숫자에 2를 곱해야 합니다. 이것은 왼쪽에서 중앙으로 세고 0부터 시작하여 수행됩니다.
이진 덧셈
덧셈은 10진법의 덧셈과 같은 규칙을 따릅니다. 1을 전달하는 대신 추가된 값이 10일 때 결과가 분기가 2일 때 이월이 발생합니다.
2진법과 10진법 덧셈의 유일한 차이점은 2진법의 값 2가 십진법의 동등한 값 10에 해당한다는 것입니다. 위 첨자 1,s는 이월된 숫자를 나타냅니다. 이진 덧셈을 수행할 때 일반적인 실수는 1 + 1 = 0일 때입니다. 또한 이전 열에서 왼쪽으로 1은 이월된 1을 갖습니다. 그러면 맨 아래의 값은 0 대신 1이 되어야 합니다. 위의 예에서 세 번째 열에서 이를 볼 수 있습니다.
이진 빼기
덧셈과 마찬가지로 10진법과 2진법의 뺄셈은 숫자 1과 0을 사용하는 것 외에는 큰 차이가 없습니다. 차용은 빼는 숫자가 원래 숫자보다 클 때 사용할 수 있습니다. 이진 빼기는 0에서 1을 제거하는 것입니다. 이것은 차용이 필요한 유일한 경우입니다. 이 때 빌린 열의 숫자 0은 “2”가 됩니다. 이것은 0-1을 2-1 = 1로 변환하면서 재구매되는 열의 1을 1로 줄입니다. 다음 열의 값이 0이면 모든 후속 열에서 차용을 수행해야 합니다.
이진 곱셈
곱셈은 십진수 곱셈보다 간단할 수 있습니다. 곱셈은 값이 두 개뿐이므로 십진법보다 간단합니다. 각 행에는 자리 표시자 0이 있으므로 결과를 추가해야 하고 값을 십진법 곱셈과 마찬가지로 오른쪽으로 이동해야 합니다. 이진 곱셈의 복잡성은 각 항에 포함된 비트 수에 따라 달라지는 지루한 덧셈으로 인해 발생합니다. 자세한 내용은 아래 예를 참조하세요.
이진 곱셈은 십진법 곱셈과 정확히 같은 과정입니다. 두 번째 행에 0 자리 표시자가 나타납니다. 십진법 곱셈에서 0 자리 표시자는 일반적으로 표시되지 않습니다. 이 경우에도 동일한 작업을 수행할 수 있지만 자리 표시자는 0으로 간주됩니다. 0은 이 페이지에 표시된 것과 같은 이진 덧셈/뺄셈 계산기와 관련이 있기 때문에 여전히 포함됩니다. 0이 표시되지 않으면 0을 무시하고 위의 이진 값을 추가할 수 있습니다. 이진 시스템은 1의 오른쪽 0을 고려하는 반면 왼쪽 0은 관련이 없다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.
이진 분할
2진수의 수와 음수 표현법 [1의 보수와 2의 보수]
글 작성자: ST_
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안녕하세요.
오늘은 프로그래밍이 아닌 컴퓨터의 연산에 대해 이해해보고자 합니다. 우리가 흔히 프로그래밍을 할 때는 그나마 사람에 가까운 언어로 된 고급언어들로 작성을 하지만 실제 컴퓨터가 프로그램에 대해 이해하고 작동하는 방식에 대해는 잘 알려고 하지는 않죠.
그래서 이 번에는 컴퓨터의 기본 연산 중 가장 혼돈하기 쉽고 잘 못 배우면 어렵게 느껴지는 2진수의 표현법. 그 중 특히 보수(補數)에 대해 알아보고자 합니다.
만약 직전 포스팅인 ‘프로그래밍 언어와 빌드 과정’을 보셨다면 우리가 프로그램을 개발하기 위해 고급언어들로 작성한 소스코드들은 결과적으로 컴퓨터가 이해할 수 있는 언어로 번역된다고 했죠.
간단한 이유이지만, 컴퓨터는 근본적으로 0과 1밖에 모르기 때문입니다.
좀 더 직관적으로 말하자면 전기적 신호로 전달 할 수 있는 방법이 On/Off 즉, 전류가 흐르는지 (=1), 안흐르는지(=0) 밖에 모른다는 것이죠. 그리고 이러한 신호들의 조합으로 여러 명령 체계를 만들어 사용하는 것이죠. 보통은 이러한 내용은 논리 회로에서 많이 다룰 겁니다.
그러면 본격적으로 2진수의 표현 방법들을 알아보기로 하죠.
⦁ 2진수의 수 표현법
아마 이 글을 보시는 대부분은 2진수가 무엇인지는 모두 알고 있을 겁니다.
예로들어 4bit에서 수를 표현한다면 이럴테죠.
0000 (2) = 0
0001 (2) = 1
0010 (2) = 2
0011 (2) = 3
0100 (2) = 4
⋮
1110 (2) = 14
1111 (2) = 15
여기서 한 가지 가장 큰 문제를 찾으라면 무엇이 있을까요?
우리가 10진수를 2진수로 해석하여 수를 표현하는데 아무런 문제가 없어보이지만, 조금만 생각해보면 우리가 쓰는 수 체계는 자연수(또는 양의 정수)만 존재하는 것이 아니죠. 엄연히 음의 정수도 수 체계에 포함되어있죠. 즉, 위 방식에서 가장 큰 문제라면 바로 음수를 표현 할 방법이 없다는 것입니다.
그러면 어떻게 음수를 표현할까? 이에 대한 고민을 해보도록 하죠.
⦁ 부호 절대값 (Sign-Magnitude)
가장 쉽게 생각할 수 있는 방법은 최상위 비트(가장 왼쪽의 비트)를 이용하는 방법입니다.
보통은 int (32bit)자료형을 많이 사용하니 이를 기준으로 설명해보겠습니다.
예로들어 5를 표현한다고 가정해보죠. 이진수로는 다음과 같을 것입니다.
5 (10) = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 (2)
만약 -5 를 표현한다고 한다면 어떻게 하면 될까요? 앞서 말했듯 최상위 비트(가장 왼쪽의 비트)를 이용한다고 했죠.
0일 때는 양수, 1일 때는 음수라고 약속하고 이를 이용하면 됩니다. 즉, 5 (10) 에서 가장 왼쪽의 비트를 바꿔주는 것입니다.
-5 (10) = 1 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 (2)
이렇게 최상위 비트를 이용하는 방식을 이용하면 음수를 표현 할 수 있죠. 이 때 최상위 비트를 MSB(Most Significant Bit) 라고도 합니다.
(만약 비트가 아닌 바이트, 즉 Most Significant Byte 와 혼용할 경우 보통은 MSBit, MSByte 이렇게 구분지어서 말하기도 합니다.)
최상위 비트를 부호 절대값으로 사용하는 방식은 매우 직관적이면서 쉬우나 컴퓨터 입장에서는 여러모로 불편한 점들이 있습니다. 간단하게 4bit로 음수와 양수를 표현한다고 한다면 다음과 같습니다.
일단 직관적으로 보이는 것은 0이 양수와 음수로 나뉘어진다는 단점이 있죠.
하지만 이 것 말고 가장 큰 단점은 뺄셈을 위해 각 수가 음수 또는 정수냐에 따라 고려하여 구현해야 할 것이 많다는 것입니다.
우리는 10진법 체계에 익숙해져있고 음수의 덧셈에서도 쉽게 정답을 도출할 수 있지만, 컴퓨터는 그렇지 않습니다.
기본적으로 이진수의 덧셈은 다음과 같습니다. 예로들어 23 + 31을 더한다고 하면 아래 그림과 같죠.
이렇게 양수끼리의 덧셈은 크게 문제가 없어보입니다.
그럼 음수의 덧셈은 어떻게 할까요? 만약 최상위 비트를 양, 음의 수로 쓴다고 하죠.
두 수의 덧셈에서 음수가 껴있는 경우는 3가지가 있을 겁니다. 두 수 모두 음수인 경우, 첫 번째 수만 음수인 경우, 두 번째 수만 음수인 경우 이렇게요.
먼저 두 수 모두 음수인 경우는 어떨까요? 앞서 23과 31을 썼으니 이 수를 갖고 예제를 들어보도록 하죠.
23과 31이 모두 음수 일 때, 즉 -23과 -31의 덧셈은 -23 -31 = -54 이라는 건 모두가 알 것 입니다.
좀 더 편하게 계산하기 위해 정리하자면 -(23 + 31) = -54 이렇게 볼 수 있겠죠?
그림으로 보면 이렇겠네요.
이 부분은 쉽게 구현이 가능할 것 같아요. 두 수의 최상위 비트가 같다면 결과값의 최상위 비트도 같아지는 것을 볼 수 있죠. 나머지 비트들을 덧셈을 한 뒤 최상위 비트만 그대로 내려오면 되니깐요.
문제는 다음부터입니다.
먼저 첫 번째 수가 음수일 경우는 어떻게 될까요?
-23 + 31 = 8 인 것은 쉽게 알 수 있지만 2진수로 표현한다면 하나 문제가 생깁니다.
바로 첫 번째 수의 절대값이 두 번째 수의 절대값보다 작을 경우입니다. 왜 그런지는 한 번 그림을 보면 바로 알 수 있습니다.
위에서 이진수의 덧셈을 하면 54가 나와버리죠? MSB에 따라 +-를 붙여주더라도 올바른 답을 얻을수가 없죠.
그렇다고 31을 빼버리게 되면 -23에서 MSB를 제외한 나머지 비트에서 31을 빼주어야 하는데 그러면 음수에서의 뺄셈을 따로 구현해주어야 하죠.
쉽게 생각해서 0001 (2) 에서 0010 (2) 를 빼야한다면 그 과정이 복잡해진다는 것이죠.
그렇다면 해결방법이 없는걸까요? 아닙니다.
위와같은 경우에는 가장 쉽게 해결할 수 있는 방법이 바로 ‘절대값이 큰 수가 첫 번째 수’가 되도록 하면 됩니다.
-23과 31 중 절대값이 큰 것은 바로 31입니다. 즉, -23+31 에서 순서를 바꾸어 31-23으로 만들어 주면 된다는 것이죠.
반대로 23이 양수고 31이 음수인 -31이라면 어떻게 될까요? 약간은 다른 방법이 필요한데, 일단 큰 값에서 작은 값으로 빼주는 방식을 취하는 것은 같습니다.
(23 – 31) = – (31 – 23) 과 같죠?
여기서 31에 23을 빼준 뒤, 그 결과 값에 음수를 취해주면 됩니다. 즉, 큰 수가 앞에 오게 만들고 앞서 했던 뺄셈을 한 뒤 마지막에 MSB만 음수를 붙이면 됩니다.
이렇게 말이죠.
이 방식이 사람한테는 쉬운 것 처럼 보이지만 막상 회로로 만들려고 하면 모든 경우의 수를 고려하여야 하기 때문에 마냥 쉬운 방식은 아니죠. 특히 음수가 껴있을 때는 각 상황마다 MSB를 어떻게 처리해야 하는지, 어떤 수가 첫 번째 수가 되어야하는지 고려해야 할 것이 너무 많아져버리죠.
장단점을 정리하자면 이렇습니다.
[장점]1. 최상위 비트만 고려해주면 되기 때문에 사람입장에서는 직관적이다.
[단점]1. +0 과 -0 둘 다 존재하기 때문에 둘 다 0으로 인식하도록 설정해야한다.
2. 연산에서 고려해야할 것이 많아져 회로가 복잡해지고 많아진다. (MSB와 절대값을 각각 계산해야한다.)
⦁ 1의 보수 (One’s Complement)
먼저 1의 보수를 설명하기 전에 보수가 무엇인지 알아보고 가보는 것이 좋습니다.
보수는 쉽게 풀어쓰면 ‘보충해주는 수’ 입니다. 한문으로 쓰면 補數 인데 補는 ‘도울 보’로 흔히 보좌관, 보조 등 어떤 걸 보충해주는 의미로 쓰이죠. 數 는 ‘셈 수’로 말 그대로 수(셈)를 의미합니다.
그럼 무엇을 보충해주냐! 어떤 수를 만들기 위해 필요한 수를 의미합니다.
그리고 보수는 각 n진법마다 모두 존재하는데, n진법에는 n의 보수와 n-1의 보수가 쓰입니다. 이 이유는 차차 설명드리기로 하고 먼저 이해하기 쉽게 10진법으로 예를들어보죠.
3에 대한 ’10의 보수’ 라고 한다면 ‘3에서 10을 만들기 위해 필요한 수’를 의미하는 것입니다. 그러면 정답은 7이 되겠죠. 또한 12에 대한 ’10의 보수’ 라고 한다면 12에서 100을 만들기 위해 필요한 수는 88입니다.
느낌이 오시나요?
쉽게 말하면 ‘n의 보수’는 ‘어떤 수에 대해 n의 제곱수가 되도록 만드는 수’라고 보시면 될 거 같습니다.
예로들어 17에 대한 10의 보수라고 한다면 17을 10으로 만든다는 것이 아니라 10의 제곱인 100을 만들기 위한 수로 100-17 = 83 즉, 83이 보수가 되는 것입니다. 음수가 되지 않는 선에서의 n의 최소 제곱수가 되는 것이죠.
그리고 n진법에는 n의 보수와 n-1, 즉 10진법에는 10의 보수와 9의 보수가 쓰인다고 했죠?
n진법에서의 n-1의 보수는 (n의 보수 – 1)이 됩니다.
좀 더 쉽게 말하면, 10진법에서 9의 보수는 10의 보수 – 1 이 된다는 것이죠.
17에 대한 10의 보수는 83이었죠? 여기서 -1을 한 값. 즉, 82가 9의 보수라는 것입니다.
17에 대한 9의 보수 = (100 – 17) – 1 = 83 – 1 = 82 이 식을 조금만 바꾸어 말하자면
(100 – 1) -17 = 99 – 17 = 82 이렇게 될 수도 있습니다.
자. 그럼 생각해보죠. 10의 보수에서 -1 을 하면 9의 보수가 나왔다는 것은 9의 보수를 구한 값에 +1 을 하면 10의 보수가 된 다는 것과 같은 의미죠?
예로들어 10진법에서 723을 10의 보수와 9의 보수 모두 구한다고 가정해봅시다. 그럼 두 가지 방식으로 구할 수 있죠.
[방법 1](1000 – 723) = 277 (10의 보수)
277 – 1 = 276 (9의 보수)
[방법 2]999 – 723 = 276 (9의 보수)
276 + 1 = 277 (10의 보수)
두 번째 방식을 보면 결국 n진법의 n-1 의 보수는 음수가 되지 않는 선에서 n-1로 채운 수가 되는 것이죠. 이 방법이 왜 쓰이는지는 다른 진법에서 보면 바로 이해 될 것입니다.
예로들어 8진법에서는 어떨까요? 8진법에서의 723(=10진법으로는 467 (10) 입니다.)을 8의 보수와 7의 보수 모두 구한다면 이럴겁니다.
[방법 1](1000 (8) -723 (8) ) = 55 (8) (-723의 8에 대한 보수)
55 (8) – 1 (8) = 54 (8) (-723의 7에 대한 보수)
[방법 2]777 (8) – 723 (8) = 54 (8) (-723의 7에 대한 보수)
54 (8) + 1 (8) = 55 (8) (-723의 8에 대한 보수)
보면 방법 2가 훨씬 쉬운 것을 볼 수 있죠?
보수의 원리에 대해 알아봤다면 그러면 대체 보수를 왜 사용하느냐를 생각해보아야 하겠죠? 앞서 부호 절대값을 이용하여 음수(뺄셈)을 이용하는 경우 고려해야 할 점이 많다고 했죠.
보수를 이용하여 뺄셈을 할 수가 있는데, 바로 이 점이 컴퓨터 입장에서 좀 더 쉽고 일관되게 쓸 수 있다는 것입니다.
한마디로 음수, 양수 상관없이 일관되게 덧셈만으로도 결과값을 얻기 위해 쓰이게 됩니다.
앞선 부호 절대값에서 문제가 되었던 -23 + 31을 예로 들어보죠.
음수(뺄셈)인 -23을 보수로 취하고 풀이하면 이렇게 답을 얻을 수도 있습니다.
{(100-23)+31}-100
= {77+31}-100
= 108-100
= 8
수학적으로는 위와같이 풀이하여 답을 구할 수 있죠.
이를 조금 응용하여 ‘보수’만 구해주는 방식으로 변형할 수 있습니다. 위에서는 보수를 구하기 위한 100이 더해진만큼 다시 빼주었는데 그냥 보수를 구하기만 하고 다시 빼지는 않는다는 것이죠.
{(100-23)+31}
= {77+31}
= 108
여기서 가장 왼쪽 값 1은 올림으로 발생한 수이기 때문에 이를 버립니다. 이를 최상위비트(MSB)에서 ‘자리 올림’이 되었다는 의미로 ‘캐리 발생’이라고도 합니다. 이 때 중요한 점은 ‘자리 올림’ 즉, 캐리가 발생 할 경우 ‘양수’라는 의미이고, 캐리가 발생하지 않는 경우 ‘음수’라는 의미입니다.
정리하자면 108에서 1이라는 수를 버린 08, 즉 8이 정답이 되죠. -23+31=8과 정답이 같죠?
-23 + 31의 보수를 이용한 것을 단계별로 정리하면 이렇습니다.
1. 음수에 대해 보수 구하기 : (100-23) = 77
2. 구한 보수 값에 나머지 수 더하기 : 77 + 31 = 108
3. 올림이 발생할 경우 해당 수는 버림 : 08
더보기 만약 올림이 발생하지 않는 경우. 예로들어 -31 + 23 의 경우는 다음과 같습니다. 수학적으로는 이렇게 풀이될 수 있죠. 1. {(100-31) + 23} – 100 2. {69 + 23} – 100 3. 92 – 100 4. -8 이를 조금 응용한 형태로 풀면 이렇습니다. 1. {(100-31) + 23} 2. 69 + 23 3. 92 여기서 중요한 점이 세번째 단계입니다. 만약 캐리가 발생하지 않았다면, 그 수를 다시 보수를 구해주어 얻어진 값에 음수 부호를 붙이면 됩니다. 4. 100-92 = 8 5. -8 두 수 모두 음수 일 경우는, 예로들어 -23 -31 같이 된다면 이는 -(23+31) 과 같은 것이죠. 1. {(100-23) + (100-31)} – 200 2. = {77 + 69} – 200 3. = 146 – 200 4. = -54 응용한다면 보수가 두 개 있기 때문에 캐리 여부 또한 2번 확인해야합니다. (-23) + (-31) = (100-23) + (100-31) = 77 + 69 = 146 ⇐ 캐리가 발생했으므로 왼쪽자리 버림 = 46 ⇐ 캐리가 발생하지 않음 = 100-46 = 54 = -54
쉽게 정리하자면 보수를 더해서 올림이 발생하면 결과는 양수이고 올림 수는 버린다.
올림이 발생하지 않으면 결과는 음수이고 계산 결과값의 보수 값이 최종 값이 된다.
9의 보수를 이용하면 어떻게 될까?
앞서 말했듯 9의 보수는 10의 보수 – 1이라고 했습니다.
예로들어 두 가지 케이스를 보면 이렇죠.
1.) 23-31
= 23 + (99-31)
= 23 + 68
= 91 ⇐ 올림이 발생하지 않았으므로 9의 보수를 구한 값의 음의 부호를 붙인다.
= 99 – 91
= 8
= -8
2.) -23+31
= (99-23) + 31
= 76 + 31
= 107 ⇐ 올림이 발생했으므로 올림이 발생한 자리값 버림
= 07
= 7 + 1 ⇐ 10의 보수로 변환하기위해 +1을 해줌 (9의 보수는 10의 보수 – 1 이었기 때문)
= 8
이렇게 뺄셈을 용이하게 할 수 있게 됩니다.
그래서 조금만 생각해보면 왜 보수가 필요한지, 1의 보수와 2의 보수가 있는지 알 수 있을 겁니다. 바로 2진법에서의 뺄셈과 뺄셈을 위한 2진법에서의 보수를 구하기 위해 있다는 것이죠.
하지만 다른 진법, 즉, N진법에서는 N-1의 보수를 구해서 쓰는게 더 편하다고 했었죠?
그래서 2진수에서의 2의 보수 전에 1의 보수부터 구해본 겁니다.
예로들어 2진수 7자리(+MSB 1자리) (=총 8bit)
0000 0011 (2) (=3 (10) ) 의 2의 보수는 1 0000 0000 (2) -0000 0011 (2) = 1111 1101 (2) 이렇게 구할 수도 있지만, 비트가 한정 되어있는 경우 보수를 구하는 과정에서 +1 비트 한 칸이 더 필요하고, 거기에 내림을 해야하기 때문에 실질적으로는 9bit가 필요하게 되어버리는 것이죠.
3이라는 수의 1의 보수를 구해보면 이렇죠.
1111 1111 (2) – 0000 0011 (2) = 1111 1100 (2)
이렇게 좀 더 편리하게 1의 보수를 구할 수 있습니다. 즉, 3을 뺄셈할 때(= -3) 위의 수를 이용할 수 있다는 것입니다. 이를 이용해서 위에서 설명한 10진수의 9의 보수를 이용한 뺄셈처럼 같은 원리를 적용하여 계산 할 수 있게 되죠.
그리고 가장 중요한 점이 있습니다. 1의 보수를 구해보면 알겠지만 1의 보수 방식에서 음수는 양수의 비트를 반전시킨 값입니다.
앞서 보면 알겠지만, 3을 이진수로 나타내면 0000 0011 이었죠? 이 비트를 반전(NOT) 연산을 하면 1111 1100 이고, 이 것이 -3의 비트가 되는 것이죠.
잠깐 표를 보도록 하죠! (32bit로 쓰면 수가 길어지니 8bit를 기준으로 보여드리겠습니다.)
이렇게 1의 보수를 이용하여 만들었더니 비트만 반전하면 된다는 장점을 얻었습니다.
1의 보수 방식을 통해 부호 절대값에서 문제가 되었던 부호와 절대값을 따로 계산할 필요가 없어지고 뺄셈 대신 음수를 더하기만 해주면 된다는 장점이 생겼습니다.
다만 후술할 것이지만, 1의 보수 방식도 단점은 있습니다. 10의 보수와 9의 보수에서도 설명했지만, N-1 의 보수는 캐리(올림)이 발생하면 +1을 더해주어야 한다고 했죠.
다시 23과 31 두 수를 이리저리 계산해봅시다. 32bit 기준입니다.
[23 + 31]양수끼리의 덧셈은 어렵지 않게 잘 됩니다.
[-23 + 31]위에서 보다시피 -23의 비트를 더해주면 MSB자리을 넘어서 올림이 발생합니다. 그럴 때는 계산 값에 +1을 해주면 되는 것이죠. 즉, 1의 보수에서 캐리가 발생했으니 +1을 해주는 원리입니다.
[-23 -31]이 것도 마찬가지로 캐리가 발생하죠? 즉, +1을 해주면 알맞은 값이 나오게 됩니다.
[23-31]이 경우는 캐리가 발생하지 않는군요.
이렇게 비트를 더해주어도 MSB가 1일경우는 음수, 0일경우는 양수를 유지하면서도, 캐리가 발생할 경우에만 +1을 해주면 되기 때문에 여러모로 편리해보이기도 합니다.
그런데 여전히 문제점이 남아있는게 있습니다. 앞서 말했던 캐리가 발생할 경우를 처리해주어야 함과 +0과 -0이 존재한다는 것입니다.
그리고 계산해보면 알겠지만 0이 나오는 결과는 항상 -0. 즉, 1111 1111 ⋯ 1111 이 나온다는 겁니다. 당연한 말이지만, 어떤 수 N의 비트를 뒤집은 것이 -N이기 때문에 둘을 더하면 모든 비트가 1이 되어버리죠.
1의 보수 방식의 장단점을 정리하자면 이렇습니다.
[장점]1. 비트만 반전시키면 음수값을 얻을 수 있다.
2. MSB의 성질이 유지가 된다.
3. 덧셈만으로 뺄셈을 구현할 수 있어 비교적 회로가 단순해진다.
[단점]1. 캐리가 발생하는 경우를 처리해주어야 한다.
2. -0과 +0을 모두 인지할 수 있도록 처리해주어야 한다.
⦁ 2의 보수 (Two’s Complement)
1의 보수를 사용하면 -0 +0 둘다 있고, 캐리가 발생하는 경우에 따라 +1을 해야하는 것을 고려해야했죠. 그러면 아주 간단한 방법은 무엇일까요? 간단합니다. -0을 없에면 됩니다.
즉, 음수 영역에서 각 대응되는 수를 -1 씩 대응시키는 것이죠.
음수 영역에서 각 대응되는 수를 -1씩 대응시켰다는 말은 어떤 수에서 a라는 수를 뺄 때 a에 대한 2의 보수는 1의 보수 +1 이라는 것과 같은 말입니다.
무슨 말인지 조금 어려워 보입니다만, 조금만 생각해보면 그리 어렵지 않습니다.
1에 대해 -1을 표현하기 위해 1의 보수를 이용하면 비트를 반전시키면 된다고 했었죠?
2-3 을 연산하려고 할 때, 뺄셈 대신 음수를 더하는 방식을 사용하기 위해 보수를 이용하는데, -3을 하기위한 3에 대한 1의 보수는 0000 0011 (2) 비트를 반전시킨 1111 1100 (2) 였죠.
하지만 위 2의 보수를 이용한 음수를 표현하는 표에서 1111 1100 (2) 는 -3이 아닌 -4입니다. 만약 -3을 표현하고자 한다면 -4에 +1을 해주어야 겠죠.
즉, 부호를 바꾸기 위해서는 1의 보수 방식에서 +1을 한 값이 2의 보수 방식인 것이죠.
쉽게 말하면 이렇습니다.
“어떤 수를 부호를 바꾸고자 한다면 비트를 반전시킨 뒤 1을 더하면 된다”
그러면 일단은 -0의 문제가 해결 된 것 같군요. 문제는 캐리 발생 여부에 따라 추가 작업이 필요한 것이 해결이 되었느냐겠죠? 신기하게도 해결이 됩니다.
다시 23과 31을 갖고와서 4가지 경우를 보도록 해보죠.
[23+31]양수끼리의 덧셈이야 문제 될 것은 없죠.
[-23+31]여기서 보면 캐리가 발생하더라도 올바른 값이 나옵니다.
[-23-31]여기에서도 마찬가지로 캐리가 발생하지만 별 다른 조치 없이도 올바른 수가 나오죠.
[23-31]여기서는 캐리가 발생하지 않는군요.
위에서 보다시피 캐리가 발생하더라도, 즉 비트가 밀린 값이 버려지고 아무런 조치를 안취하더라도 올바른 값이 나오게 되는 것 볼 수 있습니다.
이렇게 2진수에서는 컴퓨터가 연산을 더욱 편리하게 하기 위해 2의 보수를 활용하여 쓰는 것이죠.
실제로도 대부분의 컴퓨터는 2의 보수를 활용한 방식을 택하고 있습니다. (정확히는 CPU의 구성요소인 ALU에서 담당하고 있습니다. 참고로 ALU는 산술논리장치(Arithmatic Logic Unit)의 줄임말입니다.)
여러분이 만약 시험문제 같은 것에서 어떤 수의 2의 보수를 구하라고 한다면, 해당 수(이진수)의 비트를 반전 시킨 뒤 1을 더하면 됩니다.
5를 2진수에서의 2의 보수를 구하라고 한다면 5 (10) = 0101 (2) 이고, 이 비트를 반전시키면 1010 (2) 이라는 1의 보수를 얻고 여기에 1을 더한 값. 즉, 1011 이 정답이 되는 것이죠. 그리고 1011 에 대응 되는 10진수는 -5가 되는 것입니다.
2의 보수 방식의 장점을 정리하자면 이렇습니다.
[장점]1. 1의 보수에 +1을 하면 음수값을 얻을 수 있다.
2. MSB의 성질이 유지가 된다.
3. 덧셈만으로 뺄셈을 구현할 수 있어 회로가 단순해진다.
4. 1의 보수의 단점(캐리 발생 문제 및 0이 두 개) 모두 해결이 된다.
⦁ 정리하기
이렇게 3가지 방식의 2진수 표현 방법을 알아보았습니다.
인간의 입장에서는 뺄셈하는 방식이 단순해보이더라도 On/Off 즉, 0과 1로 이루어진 2진법 안에서는 뺄셈을 구현하는 것이 매우 번거롭다는 것을 알 수 있죠.
비록 우리 눈에는 2의 보수 개념이 어려워 보일 수 있으나 컴퓨터는 그렇지 않다는 것이죠.
아마 기억하기에는 주판이나, 초등학교 때 뺄셈 덧셈을 처음 배울 때 보수의 개념을 사용하긴 하지만, 요즘에는 주판도 보기 힘들 뿐더라 아마 덧셈 뺄셈을 배웠던 때는 워낙 어릴 때라 기억이 없을 수도 있을 겁니다.
아무쪼록 우리가 다루는 컴퓨터는 어떻게 연산을 하는지를 좀 알아두었으면 하는 바램도 있고 아마 이 개념을 확실하게 이해하고 가면 로직과 관련있는 수업이나 시험들(논리회로 같은..?)에서 도움이 많이 되실 것 같아 조금은 어렵지만 이렇게 포스팅 하게 되었습니다.
이해가 잘 되었으면 하는 바램입니다. 만약 어려운 부분이 있다면 댓글을 남겨주시면 감사하겠습니다 🙂
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