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플라톤은 세계를 둘로 쪼겠습니다. 이데아의 세계와 현실의 세계. 이데아의 세계는 이성의 눈으로만 보이는 가지계이고 현실의 세계는 감각의 눈으로 보이는 가시계입니다. 그리고 이데아의 세계가 진짜 세계이고 현실의 세계가 가짜라는 겁니다. 그렇다면 이데아의 세계는 어떤 세계일까요? 그것은 관념의 세계입니다. 감각의 눈으로는 보이지 않지만 이성의 눈으로 보이는 것은 관념이죠. 그래서 플라톤은 이러한 관념이야 말로 진짜로 존재한다고 말합니다. 이러한 관념이야 말로 실재한다는 겁니다. 그래서 플라톤의 이러한 입장을 관념 실재론이라고 합니다.
자. 그런데 이러한 관념들의 결정체가 바로 수학이죠. 그래서 플라톤의 아카데미의 입구에 “기하학을 모르는 자 여기에 들어오지 말라”라고 써 있었던 겁니다. 따라서 플라톤의 입장을 받아들이면 1, 2, 3과 같은 자연수는 물론 루트2와 같은 무리수, 3i와 같은 허수, 함수, 복소수, 집합. 이런 것들로 실재로 존재하는 것으로 보아야 합니다. 따라서 피타고라스 정리나 오일러 등식과 같은 수학적 공식 또한“미국의 대통령은 바이든이다”와 같이 객관적인 사실이라는 겁니다. 이러한 입장을 수학에서의 플라톤주의라고 합니다.
그런데 흔히 이런 농담이 있습니다. “수학자들은 평일에는 플라톤주의자이지만 주말에는 반플라톤주의자이다.” 이 말은 수학자들이 주중에 수학 문제의 해법을 찾을 때에는 그 해법이 실제로 존재하는 것이라고 생각하지만, 막상 주말에 쉬면서 한발 떨어져서 보면 자신이 실제로 존재하는 해법을 찾고 있는 건지 아니면 그냥 숫자 놀음을 하고 있는 건지 잘 헷갈린다는 겁니다. 이런 의심을 하는 순간 수학자는 철학자가 됩니다.“수학이란 무엇인가?” “수학적으로 참이라는 것은 무슨 의미인가?” “수학적 명제가 참이라는 근거는 무엇인가?” 이러한 질문들을 다루는 철학의 분야를 수리 철학이라고 합니다.
20세기 초 이러한 질문에 대답하기 위해서 나타난 세 학파가 있습니다. 그것이 바로 프레게와 러셀의 논리주의, 푸앙카레와 브로우어의 직관주의, 힐베르트의 형식주의입니다. 오늘은 이들 학파가 나타나게 된 배경과 이들이 어떻게 서로의 이론을 반박하면서 발전해 나갔는지 그리고 어떤 한계에 봉착했는지에 대해서 이야기를 하겠습니다.
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수리철학 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
수리철학(數理哲學)은 수학에 대한 철학이다. 수학의 기초(토대)에 대한 메타수학적인 탐구, 수학적 지식에 대한 인식론적 논의, 수학 언어의 진리이론 등 수학이라는 …
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철학 수학 – YES24
『철학 수학』은 페르마의 마지막 정리의 증명에 매혹된 수많은 천재 수학자들의 이야기이자 철학, 과학 등 모든 분야의 미해결 문제를 풀기 위해 일생을 …
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수리철학이란? – 수학과 철학의 관계 – 블로그
그 자체로 수학철학적 논쟁거리가 됩니다. . 또한 수학철학자들 대부분은 ‘수학자라면 마땅히 수학철학을 알아야 한다’라는 명제에. 대해 …
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수학은 철학의 다른 모습 – 브런치
수학을 숫자를 다루는 학문이라고 착각한다. · 아니다. · 논리를 가장 단순하게 표현하는 철학의 영역에 속하는 · 학문이 수학이다. · “수학과 기하학을 …
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수학, 철학에 미치다 – 도전 ! 고전읽기
장우석 지음/ 페퍼민트. “수학, 철학에 미치다”는 수학의 역사 이야기이다. 수학과 철학이 어떻게 깊은 관련을 맺으면서 발전해 왔는지의 역사가 있다 …
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수학의 원리 철학으로 캐다김용운 | 상수리- 교보문고
대수학자 김용운 교수의 창의력 수학 | 대한민국 최초의 수학사 연구자이자 철학자인 김용운 교수가 | 『수학의 원리 철학으로 캐다』는 수학에 관한 책이다.
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Date Published: 10/8/2022
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수학철학 – 알라딘
체코에서 태어나 영국에서 주로 활동한 철학자 스테판 쾨르너의 《수학철학》(The Philosophy of Mathematics: An Introductory Essay, 1960)을 완역 …
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- Date Published: 2021. 9. 3.
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수리철학(數理哲學)은 수학에 대한 철학이다. 수학의 기초(토대)에 대한 메타수학적인 탐구, 수학적 지식에 대한 인식론적 논의, 수학 언어의 진리이론 등 수학이라는 특수한 학문 분야의 문제로부터 일반적인 철학(형이상학, 인식론 등)적 문제로 확장될 수 있는 주제들을 다룬다. 철학적 사조에 따라 접근법이 다르지만 크게 플라톤주의와 반플라톤주의로 나눌 수 있다.
플라톤주의는 수학적 대상들이 추상화된 관념으로서 독자적인 존재의 영역을 가진다고 믿는다. 플라톤주의에 따르면 수학적 명제들의 참거짓은 결정되어 있는 것이고 수학자들은 정신의 세계에서 그것을 발견할 뿐이다. 이 입장의 주요한 옹호자는 플라톤, 칼 포퍼, 쿠르트 괴델 등이다. 에르되시 팔은 신의 수학책이 존재하고 수학자들은 어쩌다가 그 책의 일부 페이지를 살짝 엿볼 뿐이라고 언급하기도 했는데, 이것은 수학자가 직관적으로 채택한 플라톤주의적 태도라고 말할 수 있다. 그러나 이 입장은 수학적 개념들의 창조(발명)이라는 역동적인 수학사의 성장을 설명하기 어려울 뿐만 아니라 인식론적, 형이상학적 난점을 갖고 있다. 폴 베나세라프는 “수학적 진리에 대하여”라는 논문에서 만일 수학적 대상들이 플라톤주의가 말하는 추상적인 실체라면 어떻게 비인과적인 지식을 얻게 되는지 설명할 길이 없다는 문제를 제기한다. 그러나 경험주의자인 윌러드 밴 오먼 콰인이 논리주의적 방법으로 수학적 대상을 집합으로 환원시킨 뒤, 집합 개념 자체는 필요불가결성에 의해서 그대로 받아들여야 한다고 말한 것처럼 추상적인 수학적 대상이 실재한다는 플라톤주의적인 태도는 과학적 명제에 적용하는 진리이론을 일관되게 집합론과 논리학을 통해서 수학에도 적용할 수 있기 때문에 강력한 매력을 갖고 있다.
반플라톤주의는 매우 다양한 조류를 갖고 있다. 극단적인 경험주의자들은 수학적 개념이나 명제들이 일종의 허구라고 주장하기도 한다(필드의 허구주의). 수학이 자연과학과 같은 경험과학이라고 주장하는 입장도 있다(굿맨). 수학의 기초 개념을 중심으로 자연주의적인 설명을 시도하는 입장도 있다(페넬로프 매디). 최근의 영향력 있는 조류는 니콜라 부르바키와 범주론에서 영향을 받은 구조주의로 수학이 다양한 수학적 구조에 대한 이론이라고 보는 것이다(샤피로, 레스닉 등).
철학 수학
일본 홋카이도에서 태어나 도호쿠 대학·대학원을 졸업했다. 재직 중이던 안정된 직장을 그만두고 전 재산을 털어 벤처기업을 설립해 경영 일선에 뛰어들었다. 어린 시절부터 철학과 수학 등 순수과학에 남다른 관심을 보이며 수많은 서적을 독파했다. 현재 본업과는 별개로, 난해하고 복잡한 철학·과학 이야기를 독특한 관점과 명쾌한 해설로 소개하는 책들을 쓰고 있다. 저서로는 『철학적 사고로 배우는 과학의 원리』,『철학수학』 …
일본 홋카이도에서 태어나 도호쿠 대학·대학원을 졸업했다. 재직 중이던 안정된 직장을 그만두고 전 재산을 털어 벤처기업을 설립해 경영 일선에 뛰어들었다. 어린 시절부터 철학과 수학 등 순수과학에 남다른 관심을 보이며 수많은 서적을 독파했다. 현재 본업과는 별개로, 난해하고 복잡한 철학·과학 이야기를 독특한 관점과 명쾌한 해설로 소개하는 책들을 쓰고 있다. 저서로는 『철학적 사고로 배우는 과학의 원리』,『철학수학』 『사상 최강의 철학 입문』 등이 있다. 필명 ‘야무차’는 “차를 마시고, 눈을 뜨고, 지금을 음미하며 살 뿐이다. 그 외에 달리 무엇을 할 수 있단 말인가”라는 동양 철학자의 지혜에서 따왔다.
수리철학이란? – 수학과 철학의 관계
수학이야기 수리철학이란? – 수학과 철학의 관계 백선화수학학원 ・ URL 복사 본문 기타 기능 공유하기 신고하기 안녕하세요, 위례수학학원 백선화수학학원입니다. 오늘은 수학과 철학의 관계에 대한 이야기를 해보려고 합니다 🙂 역사를 거슬러 올라가면 수학과 철학은 같은 뿌리에서 출발한 학문인데요, 수학은 철학 중 논리학, 수리철학, 분석철학과 밀접한 관계를 갖고 있습니다. 예전에는 문과와 이과가 완전히 분리되었지만, 최근에는 문이과 통합이 되었죠? 즉, 자연과학과 인문학의 통합교육을 했다는 점에서 철학과 수학이 밀접한 연관이 있다는 것을 알 수 있습니다. 유명한 철학자들 중에는 수학을 잘했던 사람들도 많습니다. 철학의 시조 격으로 꼽히는 탈레스는 피라미드의 높이를 잰 것으로 유명합니다. 플라톤은 기하학을 모르는 사람은 철학도 배울 자격이 없다고 비판했죠. 아리스토텔레스는 플라톤의 수제자이고 고전 논리학을 거의 완성한 사람이다. 종교철학자라고 할 수 있는 아우구스티누스는 수학을 못 하는 사람은 신에 대해서도 알 수 없다고 했다. 라이프니츠는 미적분학의 창시자들 중 하나로 알려져있고 데카르트 역시 충격량 개념의 창시자로 아려져 있으며 또한 해석기하학의 기초를 닦은 사람이다. 다들 과학자라고 생각하는 아이작 뉴턴 역시 당대 최고의 철학자들과 일상적으로 논쟁을 벌였던 사람이다. 분석철학은 예나 대학의 수학자였던 고틀로프 프레게를 그 시조로 삼는다. 수리철학이란, 수학의 정의, 수학 자체, 혹은 논리학 및 집합론 등 수학의 개념적 기초에 해당하는 분야에서 촉발되는 철학적인 문제들을 다루는 ‘수학에 대한 철학’ 철학 혹은 수학의 하위분야를 말합니다. 현재 수학이 철학으로부터 독립하여 세분화되었지만 철학의 논리구조와 핵심은 수학과 공유하고 있습니다. 따라서 수학과 ‘수’철학은 동치죠. 단지 철학은 근본적인 원리규명을 통한 확립의 과정을 중시한다면 수학은 그러한 과정을 통해 확립된 수학원리에 따라 각종응용과정을 종합한 것으로 볼 수 있습니다. 그래서 수학과에 가면 전공서적이 전부 기호논리로 구성된 철학서적과 흡사한 형식을 띕니다. 수학철학에 대한 현수학자들의 입장은 현역 수학자들의 실제 철학적 입장이 무엇인지 따지는 것은 수학자들을 인터뷰하는 등, 사회과학적 방법을 통해 검토해야 할 문제이기도 합니다. 하지만 많은 이들은 현역 수학자들이 애초에 수학철학에 대해 딱히 입장이 없거나 생각해본 적도 없는 경우가 대부분이기도 합니다. 21세기 수학철학자들 대부분은 ‘현역 수학자들의 생각이나 행동’이 수학철학을 전개하는 데 있어 중요한 데이터가 된다는 데에 동의한다고 합니다. 하지만 현역 수학자들이 공개적으로 표명한느 입장과 무의식적으로 행동하는 양상에는 종종 차이가 드러나는데요, 이런 점에서 어떤 데이터를 더 우선시해야할 것이냐는 그 자체로 수학철학적 논쟁거리가 됩니다. 또한 수학철학자들 대부분은 ‘수학자라면 마땅히 수학철학을 알아야 한다’라는 명제에 대해 부정적이거나 중립적인 입장을 취하고 있습니다. 즉, 대부분의 수학철학자들은 현역 수학자들 보고 이래라 저래라 하지 않는다는 것입니다. 그럼에도 불구하고 수학철학을 두고 고민해보는 것은 수학 교육에 도움이 된다는 것은 사실입니다. 현대의 수리철학 종류 (1) 플라톤주의 플라톤주의는 플라톤으로부터 유래한 입장이며, 존재의 세계가 질적 차이에 의해 구분 가능한 ‘위의 세계(또는 안의 세계)’와 ‘아래의 세계(또는 밖의 세계)’라는 두 세계로 이루어져 있다고 보며 위의 세계(可知界)는 사고의 대상으로 이루어져 있고 아래의 세계(可視界)는 감각 경험을 대상으로 이루어져 있다고 구분하였습니다. ‘수학적 플라톤주의’는 종종 ‘수학적 실재론’이라는 명칭과 혼용된다. 수학적 실재론에 따르면 ‘1차 이상의 복소계수 방정식은 반드시 하나 이상의 복소수 근을 갖는다’ 같은 문장은 ‘지구는 태양을 중심으로 돈다’ 같은 문장과 마찬가지로 객관적인 참입니다. 그런데 지구, 태양, 심지어는 ‘5’, ‘XXXVII’, ‘四’ 같은 숫자 들이 모두 자연 세계에서 찾아볼 수 있는 것인 반면, 수, 집합, 함수, 군 같은건 자연세계에는 없는 추상적인 대상입니다. 그렇다고 소설가들이 허구적인 인물을 등장시켜 이야기를 짓는 것처럼 수학자들이 그들 임의로 이야기를 꾸며내는 것처럼 보이지도 않습니다. 왜냐면 수학자들은, 자연과학자들이 실험과 관찰을 통해 새로운 과학 지식을 발견하듯이, 증명을 통해 모종의 객관적인 사실을 발견하는 것 같기 때문입니다. 이런 이유 때문에 고전적인 수학적 플라톤주의자들은 수학적 참이 물리학에서의 참만큼이나 문자 그대로의 객관적인 참일 뿐만 아니라, 수학적 대상들 또한 원자, 세포와 같은 과학적 탐구 대상들만큼이나 실재한다고 주합니다.이런 주장을 거부하는 입장은 ‘수학적 반실재론’으로 구분됩니다. 쿠르트 괴델은 플라톤주의를 개진한 대표적인 인물이며, 자신이 증명한 불완정성 정리가 플라톤주의를 옹호하는 근거가 된다고 논했으며, 윌러드 콰인은 자연과학을 정당화하는 입장에서 대상들, 특히 집합이 객관적으로 존재한다고 논했습니다. (2) 논리주의 논리주의는 고틀로프 프레게로부터 시작된 학파다. 논리주의의 대표적인 주장들은 다음과 같았습니다. 모든 수학적 개념은 논리학으로 분석될 수 있는데요. 모든 수학적 정리는 논리학의 공리 및 추론 규칙들로부터 증명할 수 있습니다. 고틀로프 프레게는 페아노 공리계를 자신이 발명한 현대 수리 논리학으로부터 도출시키고자 했던 최초의 인물이었으나, 프레게의 기본 법칙 V가 비일관적이라는 점을 버트런드 러셀이 밝혀냈습니다. 러셀은 앨프리드 노스 화이트헤드와 공저한 『수학 원리(Principia Mathematica)』에서 이러한 문제를 피하기 위해 유형론(type theory)을 제안하였지만 환원공리나 선택공리, 무한공리와 같은 자명해 보이지 않는 공리들을 받아들여야 하는 문제가 발생했습니다. 그리고 이런 고전적 형태의 논리주의는 불완전성 정리를 발표하며 완전히 좌초됩니다. 크리스핀 라이트(Crispin Wright)를 시작으로 1980년대부터 연구되기 시작한 신-논리주의는 프레게 이론에서 문제가 됐던 기본 법칙 V를 폐기하는 대신, 동수성(equinumerosity)을 기준으로 “~의 수”의 동일성 조건을 제시하는 이른바 “흄의 원리”를 토대로 정수론, 해석학을 비롯한 여러 수학 이론의 기초론을 제시하고자 하는 연구 프로그램입니다. (3) 직관주의 직관주의의 뿌리는 임마누엘 칸트, 레오폴트 크로네커, 앙리 푸앵카레 등까지 거슬러 올라갈 수도 있지만, “직관주의”라는 사조를 확고히 정립한 창시자는 부동점 정리를 증명한 것으로도 유명한 L.E.J 브라우어입니다. 브라우어는 수학적 플라톤주의에 반발하여 수학적 대상은 이상적인 수학자의 마음에 의해 창조되는 것이라고 보았고, 수학적 확실성의 원천을 제공하는 것은 근본적인 직관이지 논리적 참이나 형식적 엄밀성 같은게 아니라고 주장하면서 논리주의나 형식주의를 비판했죠. 논리학적으로 직관주의의 가장 큰 특징은 배중률을 거부한다는 점입니다. 이는 곧 귀류법을 거부한다는 것이며, 수학적으로는 오직 구성적 증명(constructive proof)만을 인정하는 것이 됩니다. 따라서 논리주의나 형식주의에서는 고전 수학(classical mathematics)을 전부 인정하는 것과 달리, 브라우어의 직관주의는 고전수학의 상당부분을 거부합니다. 공리적 집합론의 일부와 실무한을 사용하는 해석학의 상당 부분이 직관주의에서는 버려집니다. 선택공리, 기초공리 같은 집합론의 일부 공리들이 배중률을 함축하기 때문입니다. 당장 브라우어는 자기가 일찌기 발견했던 부동점 정리 증명 또한 거부하였습니다. 이런 점을 두고 다비트 힐베르트는 직관주의가 “우리의 가장 귀중한 보물의 대부분을 포기하려고 한다”고 비판하며 브라우어와 논쟁을 벌였으며, 이 둘 간에는 애석하게도 훗날 학문적 논쟁을 넘어 학계 정치가 엮인 분쟁이 벌어지기까지 했다. 그리고 이 와중에 힐베르트의 제자이며 군론을 비롯한 수학의 여러 영역에서 큰 업적을 남긴 헤르만 바일(Hermann Weyl)이 직관주의로 전향하는 사건이 발생하기도 했다. 브라우어의 제자인 아렌트 하이팅(Arend Heyting)은 직관주의 논리학을 형식화하고 페아노 공리계에 대응하는 하이팅 산수(Heyting Arithmetics)를 제시하였는데요, 브라우어의 사후에도 그의 직관주의 사조보다 더욱 온건한 형태의 구성주의 수학은 여전히 연구되고 있습니다. 또한 20세기 후반 마이클 더밋(Michael Dummett)은 브라우어의 수학적 관념론과는 전혀 다른 동기에서 직관주의 체계를 언어철학, 논리철학 등에 응용하기도 했습니다. 수리철학의 대표적인 주제들 (1) 선험성 수학적 지식은 일견 경험에 의존하지 않는 선험적(a priori)인 것으로 보인다. 어떻게 인간이 선험적 지식을 얻을 수 있는가? 수학적 지식은 무엇에 관한 지식인가? (2) 필연성 수학 연구는 전제들이 참일 때 결론이 참일 수밖에 없는 연역적 논증에만 의존하며, 증명으로부터 따라나온 결론(정리)은 필연적인 진리로 여겨진다. 수학적 필연성의 본성은 무엇인가? 수학적 필연성은 어디에 기인하는가? 증명의 본성은 무엇인가? (3) 적용가능성 수학은 경험적 전제들에 의존하지 않음에도 불구하고 경험세계에 관한 탐구를 비롯한 우리의 지적 활동에 보편적으로 적용 가능한 것으로 보인다. 어떻게 그것이 가능한가? 수학의 보편적 적용가능성이 어디에 기인하는가? (4) 유진 위그너의 글 “자연과학에서 수학이 발휘하는 터무니 없을 정도의 효력” (5) 무한 경험, 기억, 추론능력이 유한한 우리가 어떻게 무한에 관한 지식을 얻을 수 있는가? 무한의 본성은 무엇인가? 인쇄
도전 ! 고전읽기
장우석 지음/ 페퍼민트
“수학, 철학에 미치다”는 수학의 역사 이야기이다. 수학과 철학이 어떻게 깊은 관련을 맺으면서 발전해 왔는지의 역사가 있다.
수학의 발전과 변처사 배후에 있는 사유등을 알게 되어 수학을 보는 눈이 업그레이드 된 느낌을 준다.
Part 1 철학, 수학으로 사유하다 (탈레스에서 아르키메데스까지)
최초의 철학자로 알려진 탈레스 는 “만물의 원질은 물이다.”라고 말했다.
이렇게 탈레스는 현상 이면의 질서를 탐구하는 철학적 사유의 아버지가 되었다.
그 이후 그 전통은 피타고라스와 파르메니데스를 거치면서 한층 심화되고 플라톤과 아리스토텔레스에 이르러 하나의 형이상학으로 체계화되었다.
“만물의 본질은 수이다” 피타고라스 의 말이다.
파격적인 말이다. 형체가 없는 것이 형체의 본질이 된다는 생각은 파격에 파격이다.
형체가 없는 ‘수’ 또는 변하지 않는 ‘수의 질서’가 현상의 이면에서 현상을 움직인다는 의미로 생각하면 조금 이해가 될 듯도 하다.
파르메니데스 는 존재하는 것은 존재하고 존재하지 않는 것은 존재하지 않는다. 존재하다가 존재하지 않게 된다든지 존재하지 않다가 존재하든지 할 수는 없다고 주장하며 사실상의 변화를 부정하는 논증을 폈다. 다시 말하면 변하지 않는 것만을 진정한 존재로 보아야 한다는 말이기도 하다. 우리가 살아가는 세계는 끊임없이 변화한다. 파르메니데스의 논리를 따른다면 우리의 경험세계는 허상이라는 결론에 도달한다. 그의 제자 제논의 역설도 움직임 즉 변화가 논리적으로 불가능함을 보여주는 이야기인 것이다.
플라톤 은 이런 논리를 심화시켜 나간다. 변화하는 현상계가 허상이라면 실제로 존재하는 것, 즉 변하지 않는 것은 무엇일까? 플라톤은 수, 도형, 정의(justice)등 변하지 않는 모든 대상이 존재하는 장소를 이데아의 세계라고 불렀다. 이데아의 세계야말로 객관적으로 실재하는 세계라고 주장했다. 현실세계는 이데아 세계의 그림자에 불과한 것으로 불완전하다는 것이다. 복잡한 현상을 규정하는 불변의 세계가 객관적으로 존재한다는 생각, 즉 현상과 구분되는 ‘이론’ 차원의 세계가 존재한다는 사유는 과학을 가능하게 한 사유였다.
아리스토텔레스 는 플라톤이 찾은 이데아의 세계가 현실과 유리되어 따로 존재하는 것이 아니라 구체적인 사물 속에 존재한다고 하여 현상을 살리려고 하였다. 형상과 질료 이론이다. 책상이라는 형상과 나무라는 질료가 합쳐져야 책상의 존재가 드러난다는 것이다. 플라톤의 이데아가 현실세계에 들어와 있다는 것이 아리스토텔레스의 형상인 것이다. 그에 의하면 형상은 존재하는 현상세계가 참된 세계이다.
● 아리스토텔레스는 논리학
아리스토텔레스는 논리학의 창시자이다.
그의 논리학 체계는 크게 삼단논법과 동일률, 모순율, 배중률로 이루어진 세 가지 논리법칙으로 요약된다.
동일률: A는 A이다. (A=A),
모순률: A이면서 동시에 A가 아닌 것은 존재하지 않는다. (A ∩ A^c = ∲)
배중률: A이든지 A가 아니든지 둘 중에 하나는 반드시 성립한다. ( A ∪ A^c = U )
동일률이 성립하는 세계는 변화가 없는 세계이어야 한다. 변화하는 현실세계에서는 모든 것이 끊임없이 바뀌어가기 때문이다.
아리스토텔레스는 피타고라스로부터 파르메니데스를 거쳐 플라톤까지 이어져온, 불변하는 세계에 완변하게 적용되는 사유의 원리이자 존재의 원리를 ‘논리’라는 이름으로 정식화한 것이다. 이로써 철학과 수학 그리고 논리가 하나로 결합된 그리스 사유의 거대한 구조물이 완성되었다.
삼단논법은 대전제가 참이라면 결론도 참이라는 구조이다. 결론의 성립여부는 대전제에 달려 있기 때문에 포인트는 대전제가 참인 것을 어떻게 보장하느냐이다.
그는 대전제를 제1원리들이라고 불렀는데, 이 대전제는 추론에 의해서 논증할 수가 없다. 다만 그것은 이성에 의한 직관의 차원에서 진리임이 자명한 것이다. 논리적 추론 없이 직관적으로 파악되는 대전제가 없으면 모든 논증의 구조는 허물어져 버린다.
그의 논리학은 불변의 실체를 추구하는 존재론적 사유의 원리를 정식화한 것이었으며 따라서 수학의 세계에 완벽하게 적용되는 틀이었다.
유클리드 는 당시의 수학을 집대성하여 <원론>을 완성한다. 원론은 다섯 개의 공리와 다섯 개의 공준으로부터 출발한다.
▶ 5개의 공리(공리: 모든 논리의 대전제로 사용될 수 있는 자명하다고 여겨지는 진리)
1) 동일한 것과 같은 것들은 모두 서로 같다.
2) 같은 것에 어떤 것을 같이 더하면 그 전체는 같다.
3) 같은 것에 어떤 것을 같이 빼면 그 전체는 같다.
4) 서로 일치하는 것들은 서로 같다.
5) 전체는 부분보다 크다.
▶ 5개의 공준(공준: 특정한 학문분야의 대전제로 사용될 수 있는 자명하다고 여겨지는 진리)
1) 한 점에서 다른 한 점으로 하나의 직선을 그을 수 있다.
2) 유한한 직선을 얼마든지 연장할 수 있다.
3) 모든 점에서 모든 거리를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
4) 모든 직각은 같다.
5) 한 직선상에 있지 않는 한 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 한 개만 존재한다.
이 열 개의 전제와 아리스토텔레스가 확립한 논리법칙들 이용하여 유클리드는 464개의 명제들을 증명하여 정리화하였다.
그러면 공준 또리 공리가 옳은 근거는 무엇일까?
유클리드에 의하면 그것은 옳기 때문에 옳다. 증명이 필요없을 정도로 명백하고 자명하다는 것이 그 근거이다.
아르키메데스 는 수학을 구체적인 물리 문제에 적용하기 시작한다.
탈레스로부터 시작된, 현상을 규율하는 본체의 세계에 대한 철학적 탐구가 피타고라스, 플라톤, 아리스토텔레스를 거쳐 논리를 바탕으로 하는 존재론적 세계관으로 확립되었다. 그리고 그 대표는 수학이었다.
고대 그리스의 철학은 불변의 사유, 존재의 사유로부터 출발하였다. 하지만 고대 중국인들은 이와는 다른 사유, 즉 변화의 사유, 생성의 사유를 하였다.
Part 2 철학은 곧 관계다 (노자와 장자 그리고 음양오행의 사유법)
자연의 질서를 탐구함에서부터 철학적 사유를 출발시켰던 그리스 철학자들과는 달리 중국의 철학자들은 인간의 구체적인 삶의 문제를 해결하는 데서부터 철학적 사유를 시작하였다. 즉 객관세계를 탐구하는 그리스 철학이 ‘존재’를 중시하는 방향에서부터 시작할 수 밖에 없었다면 삶의 문제를 탐구하는 중국 철학이 ‘관계’를 중시하는 방향에서부터 시작 한 것 또한 자연스럽게 이해할 수 있다.
노자 , ‘道可道 非常道, 名可名 非常名’
‘A는 A가 아니다.’ 어떤 대상을 A라 규정하면 그것은 더 이상 A가 아니다. 동일률에 정면으로 부딪힌다.
일본 불교 철학자 스즈키 아이세쓰는 ‘卽非의 논리’라고 하여 “A 卽非 A, 是名 A”로 구조화했다.
이는 이 세계가 단순하지 않고 매우 복잡한 연관관계로 얽혀 있기 때문에 어떠한 사태를 그 사태만으로 보아서는 안되고 전체적으로 보아야 한다는 지극히 ‘상식적인’ 주장이다. 즉비는 논리는 “모든 것은 한순간도 머물러 있지 않으며 끊임없이 주변과 교감하며 변화한다” 즉 변화하지 않는 존재는 없으며 ‘변화야말로 존재의 본질’이라는 전제에서 성립하였다. 모든 존재가 관계의 끈으로 연결되어 있다는 이러한 즉비의 논리를 궁극까지 밀고 들어가면 “모든 것은 하나이다”로 귀결된다. 즉 진리는 변화무쌍한 구체적 현실, 바로 거기에 있으며 모든 것이 하나로 연결되어 있는 만큼 모든 곳에 동일하게 있는 것이다.
변화, 서로 다름의 극한이 음양, 음양은 현상적으로는 둘이지만 본질적으로는 하나이다. 태극도는 음과 양의 존재론적 일원성과 현상론적 이원성을 동시에 표현한 그림이다.
음양론의 궁극적 결론은 대립되는 성질들 사이의 감응에 의한 끊임없는 변화와 균형을 통한 생명력의 유지이다. 이것은 사태를 실체론적 관점이 아닌 관계론적으로 즉 전체적으로 조망해야 함을 의미한다.
오행론은 끊임없이 변화하는 자연 속에서 균형을 유지하는 안정성을 보았다. 자연은 머물지 않으려는 본성이 있으며 또한 그것은 순환구조를 가지고 있다. 이러한 자연 순환의 원리를 크게 다섯걸음(오행)으로 구조화 한 것이 바로 오행론이다. 왜 다섯? 이론적 근거는 상생상극의 개념이다.
순환구조는 생장과정과 소멸과정으로 구분할 수 있는데, 다시 말해 상생(서로 키워줌)의 방향과 상극(서로 억누름)의 방향을 생각할 수 있다.
구체적인 자연현상 속에서 서로 살려주고 서로 제어하는 관계로 고대 중국인이 찾은 다섯 가지 경향성은 목, 화, 토, 금, 수이다. 이것은 다섯 가지 사물이 아니라 그것들로 상징되는 성질이나 경향성을 말하는 것이다.
Part 3 잠자던 수학을 깨우다 (불변에서 변화의 수학으로)
피타고라스로부터 플라톤을 거쳐 아리스토텔레스와 유클리드에 와서 결말을 맺은 수학적 세계관은 군더더기가 없고 모든 것이 투명하게 볍칙적으로 성립하는 세계관이라는 부분에서 이성적, 합리적인 측면을 가지고 있지만 ‘불변하는 세계를 별개로 설정’했다는 부분에서 신비적, 종교적 측면을 동시에 가지고 있었다. 즉 과학적 측면과 종교적 측면이 공존하고 있었던 것이다.
르네쌍스를 지나면서 사고의 규칙이 달라지기 시작햇다. 선험주의, 본질주의 등 일체의 형이상학적 원리를 배제하고 현상에 근거하여 설명하고 이끌어가는 과학, 진리를 현실에 적용하는 것이 아니라 현실에서 진리를 끌어내는 새로운 과학이 태동하고 있었던 것이다. 갈릴레오의 놀라운 과학적 발견 또한 이러한 사상적 바탕하에서 나올 수 있었다.
갈릴레오 는 의심할 줄 아는 인간이었다. 주어진 상식을 그냥 수용하지 않고 의심할 줄 아는 자세야말로 사유하는 인간의 가장 이상적인 모습이다. 갈릴레오는 관찰과 실험, 그리고 논리적 추론의 절묘한 결합으로 근대과학의 시발점으로 평가되는 낙하법칙을 발견해 내었다. 고대의 수학과 과학이 정적인 세계, 고요한 세계를 그 대상으로 했다면 근대의 수학과 과학은 움직이는 세계, 변화하는 세계로 관심의 촛점을 옮긴다.
종교적 믿음이 진리의 기준이 된 시기에 데카르트 는 새로운 과학적 발견을 뒷받침하고 또 앞으로 더 나아가게 할 수 있는 새로운 철학의 원리, 누구도 부정하거나 의심하지 못할 확실한 원리를 발견한다.
‘나는 생각한다. 고로 존재한다.’ 이 말은 나의 사고에 의존해서만, 다시 말해서 내가 이해되는 한에서만 모든 것을 받아들이겠다는 상당히 과격하면서도 주체적이고도 능동적인 이 선언은 더 이상 애매하고 불확실한 본질주의를 받아들이지 않을 것이며 따라서 객관적 자연현상을 어떠한 형이상학적인 신념을 섞지 않고 나의 이성에 의하여 파악할 수 있다고 하는 근대과학의 철학적 근거를 마련해 주는 작업이었다.
거기에 더하여 데카르트는 좌표를 도입함으로 그리스의 기하학과 대수학을 하나로 결합하는 쾌거를 이루어 수학의 발전에 지대한 공헌을 하였다.
뉴턴 은 갈릴레오의 지상의 낙하법칙과 케플러 의 하늘의 행성의 운동 법칙을 종합하여 하나의 법칙으로 묶어낸다. 만유인력의 법칙이다.
또한 뉴턴과 라이프니쯔는 미적분을 발명함으로 순간순간 변화하는 대상물을 파악하는 방법을 고안해 내었다. 변화하는 현상세계의 변화를 계산하고 예측하는 것이 가능해 진 것이다.
Part 4 거인의 어깨 위에 올라선 수학(실체에서 관계의 수학으로)
수량화 혁명에 바탕한 새로운 합리주의는 점차로 누구도 부정할 수 없는 엄밀한 진리로서의 과학과 그러한 과학적 진리의 구현물인 자연이 정해진 질서에 따라 법칙적으로 움직여간다는 ‘기계론적 세계관’을 만들어 내었다. 근대적 기계론은 세계의 근원으로서의 신을 자연스럽게 받아들이게 되었다. 이는 인격신이 아닌 수학적 이성이라는 이름의 무색투명한 신이었다. 이성과 논리를 강조하며 자연을 수학 법칙을 다르는 창백한 대상물로 만들어버리는 이러한 기계론은 현상세계를 이데아의 그림자로 보는 플라톤 철학과 그 구조가 유사하다. 데카르트의 철학은 플라톤 철학의 근대적 변용이라고 할 수 있다. 다만 자아 즉 개인을 주장하며 말했다는 점에서 플라톤과 구별된다.
플라톤의 하늘에 떠 있는 이데아를 땅으로 끌어내리려 노력한 후계자 아리스토텔레스가 있었듯이 데카르트의 기계론을 바판하며 현실에 생기를 불어놓으려고 한 이성론자들이 등장하게 되는데 스피노자와 라이프니츠가 그들이다.
스피노자 는 신과 자연을 이원화시키지 않고 과감하게 신=자연이라고 생각했다. 물론 그가 생각한 신은 인간의 이성으로 파악 가능한 합리적 신이다. 이러한 이성적이고 논리적인 신관을 범신론이라고 부른다. 스피노자는 우리가 경험하는 대상 바로 그 속에 신(이성)의 숨결이 담겨 있음을 주장함으로써 이성주의를 유지하면서도 데카르트의 기계론을 지양하려고 했다.
데카르트가 17세기의 플라톤이라면 라이프니츠 는 17세기의 아리스토텔레스이다. 그는 현상 사물을 이데아의 그림자로 보는 기계론을 지양하고 자연’자체’에 원리를 내재시키고자하는 기획에서 아리스토텔레스가 그랬던 것처럼 논리학의 법칙을 세운다.
라이프니츠에 의하면 진리는 필연적 진리와 우연적 진리의 두가지 형태가 있다. 논리적 추론으로 증명되는 것이 필연적 진리이고, 경험함으로 알 수 있는 것이 우연적 진리이다. 필연적 진리는 추론의 진리이며 우연적 진리는 사실의 진리이다. 그는 필연적 진리를 지배하는 원리로서 모순율 을 제시했고 우연적 진리를 지배하는 원리로서 충족이유율 을 제시한다.
필연적 진리는 ‘유한 회’의 논리적 추론을 거쳐 알 수 있는 진리이고 우연적 진리는 ‘무한 회’의 논리적 추론을 거쳐 알 수 잇는 진리이다. 라이프니쯔에게는 우연적인 것은 존재하지 않는다. 모든 것이 그렇게 될 수 밖에 없는 필연적인 이유가 그 속에 내재되어 있다는 것이다. 사실의 진리가 우연한 것으로 인식되는 이유는 인간의 분석 능력이 유한하기 때문이다. 만약 무한 회 추론한다면 모든 것은 정확히 설명되고 예측될 수 있으므로 지금 우리게엑 불합리하고 이해가 안되는 것들도 모두 합당하고 이성적인 모습으로 나타나게 된다.
이 무한회 추론이라는 개념은 연속성이라는 개념과 관련된다. 그리고 자연의 연속성을 기반으로 한 무한 회 추론의 아이디어는 미분법 발견의 기초가 된다.
라이프니츠느 함수라는 용어를 최초로 사용했으며 미적분학의 창시자로 변화하는 대상들 사이의 관계를 찾는 도구를 만들어 내었다. 라이프니츠는 변화 속에서 변화하지 않는 ‘존재자’를 상정한 것이 아니라 변화하는 현상들 사이의 관계를 설명해 낼 수 있는 일관된 패턴, 바로 관계의 불변성을 추구한 것이다. 관계의 불변성이란 관계의 일관성을 말한다. 고대 그리스에서 출발한 “불변”의 철학적 의미가 ‘무변화’에서 ‘변화의 일관성’으로 발전해 나가고 있는 것이다.
데카르트로부터 라이프니츠까지 벌전되어 온 근대 이성주의 철학의 결과물인 수학과 과학의 많은 성과들을 맏아들이면서 모든 것을 이성이라는 이름의 신의 범주 속에 두지 않고 이성에 한계선을 그음으로써 인간과 신, 그리고 자연을 모두 살리려고 한 철학자가 바로 칸트이다.
칸트 의 명제구분
분석명제: 주어속에 술어가 포함된 명제. 예를 들어 “백조는 희다’
종합명제: 그 반대.
선험적 판단과 경험적 판단
위 네가지를 종합하면 4종류의 명제가 도출된다. 선험적 분석명제, 선험적 종합명제, 경험적 분석명제, 경험적 종합명제.
이중 선험적 분석명제와 경험적 분석명제는 명제로 큰 의미가 없다. 동의반복이기 때문이다. 경험적 종합명제는 경험에 의한 것이므로 굳이 증명이 필요하지 않다.
그러므로 이 중 선험적 종합명제만이 철학자들의 고려 대상이 된다.
인간은 경험자료와 이를 바탕으로 한 논리적 추론으로 올바른 지식을 구성해 나간다. 진리는 인간이 경험과 이성을 조합하면서 계속해서 확장, 구성해 나가는 것이다.
따라서 진리는 신의 관조가 아닌 인간의 행위를 통해서 드러난다.
플라톤으로부터 이어져 내려온 이성주의는 객관주의적 성격을 가진다. 즉 수학적 진리는 인간과 무관하게 존재하며 절대적으로 참이다. 이러한 객관적 진리관은 기독교의 초월적 신관과 결합되어 중세 철학을 구성하였다. 근대에 들어와서 데카르트는 사유하는 자아를 외치며 신으로부터 벗어나려는 시도를 한다. 하지만 그의 이성주의는 기계론으로 연결되면서 이신론, 즉 이성적 신관으로 나아간다.
우리는 이러한 이신론의 극적인 형태를 라이프니츠의 철학에서 보았는데 이성을 매개로 하여 인간과 신을 연결하려 한 이와 같은 이성 절대주의는 결국 플라톤주의의 근대적 발전으로 볼 수 있다. 하나로 뭉쳐진 합리주의와 신비주의, 그리고 철학과 종교는 강고한 역사적 관성을 지니고 있었던 것이다. 이 시점에서 합리주의를 신비주의로부터 구해내고 철학을 종교로부터 구해내며 근대적 수학과 과학의 성과를 흡수하면서도 그것과 신과의 연결고리를 끊고 인간이 구성한 인간의 진리로 재자리매김을 한 철학자가 바로 칸트이다.
이것은 데카르트로부터 시작된, 사유하는 주체로서의 자아가 칸트에 와서야 비로소 신의 도움 없이 스스로 진리를 구성해 나갈 수 있는 존재가 되었다는 의미이다. 결국 칸트의 위대함은 절대적 진리라는 질곡에서 벗어나 인간이 ‘구성해 나가는’ 새로운 진리관을 제시했다는 점에 있다. 따라서 칸트에 의하면 수학의 진리 또한 인간의 진리일 뿐이다.
이것은 서구 수학의 역사에 처음 등장한 매우 비전통적인 수학관이었다. 그래서 칸트는 자신의 사상을 ‘코페르니쿠스적 전환’이라고 말하였다. 그는 오랫동안 이성에 눌려 지내던 인간의 의지, 느낌 등이 철학의 주제가 될 수 있는 길을 열어준 철학자이기도 하다.
수학의 발전
좌표의 도입으로 기하학과 대수학이 결합되었고, 함수는 수학과 과학을 연결해 주는 매개체가 되었다.
기하학에서는 비유클리드 기하학이 등장하였다. 유클리드의 기하학은 평면에서의 기하학이었다. 하지만 구부려진 곡면에서의 기하학이 등장하였다. 이를 비유클리드 기하학이라 한다. 유클리드 기하학에서는 삼각형 세각의 합이 180도 이지만 비유클리드 기하학에서는 곡률에 따라 180도 이상이 될 수도 있고 이하가 될 수도 있다.
대수학에서도 단지 방정식을 푸는 것이 아니라 어떤 조건에서 방정식을 풀 수 있으며 어떤 조건에서 방정식을 풀 수 없는지, 그 방정식이 놓여 있는 장을 분석의 대상으로 놓아 그러한 장들의 대수적 구조를 탐구하는 추상대수학이 19세기 초부터 발전하기 시작한다. 군, 환, 체등이 그것이다.
이렇게 수의 성질과 그 구조를 탐구하던 수학자들은 19세기 말에 드디어 수의 성질에 기초하여 전체 수학의 체계와 그 구조를 확립한다. 유클리드가 공리로부터 정리로 나아가는 수학의 체계를 처음 세운 이후로 두번째의 체계화였다.
칸토어 는 집합, 원소 그리고 대응이라는 단순한 개념들을 가지고 무한까지도 셀 수 있고 비교할 수 있음을 보여주었다. 칸토어에 의하여 발전된 무한에 관한 이론을 집합론이라 한다. 집합론은 17세기 이후의 수학의 역사에서 추상적 논리의 정점에 위치한 이론이다.
집합론을 흔드는 러셀 의 역설
자신을 포함하지 않는 집합 R은 논리를 생명으로 하는 수학에서 있을 수 없는 모순이 발생하였다. 러셀은 이 문제를 해결하려고 <수학원리>라는 책을 저술하였다. 수리논리학의 기원이다. 하지만 <수학원리>는 역설의 근본 이유를 찾아서 해소한 것이 아니라 이런 저런 조건을 넣어서 역설을 피해간 것이기 때문에 문제가 근본적으로 해결된 것은 아니었다.
브로우베르 는 러셀과는 달리 집합론에서 역설이 발생한 원인을 찾아낸다. 우리는 실제로 존재하는지 아닌지 모르는 대상, 즉 인간의 인식 대상이 될 수 없는 대상에게는 논리를 적용하면 않된다는 것이다. 예를 들어 ‘유령은 충치가 있어가 없거나 둘중에 하나다’ 는 아리스토텔레스의 배중률에 의하면 맞는 말이다. 하지만 이 명제는 둘 다 성립하지가 않는다. 왜냐하면 유령이란 인간의 인식 대상이 아니기 때문이다.
그는 수학적으로 존재가 보장되는 대상만 논리적 분석대상으로 삼아야 한다고 말한 것이다. 무한은 인간의 인식의 한계를 넘기 때문에 수학적 대상이 아니라고 본 것이다. 그는 칸토어의 무한 집합론을 받아들이지 않았다. 인식의 대상이 수 없는 공허한 개념을 인식의 대상인 것처럼 실체화하여 논리적으로 분석하는 것은 잘못된 것이라고 본 것이다.
브로우베르의 사유의 핵심은 수학적 존재와 그것의 참거짓 문제를 ‘인간의 인식 행위’와 결부하여 생각한다는 점이다. 그는 수학을 인간과 무관한 진리로 보지 않았다. 인간의 진리라는 말을 한 칸트의 철학이 그 배후에 있는 것이다. 인간의 직관을 벗어난 공허한 논리를 배척한다는 것이 직관주의 의 기본 정신이다.
집합론에서 발생한 역설의 처리 문제에서 생긴, 20세기 초의 객관적 실재론과 주관적 구성주의의 학문적 대립은 무한을 존재자로 인정하느냐 하지 않느냐의 대립, 즉 무한과 유한의 대립이었다. 유한이건 무한이건 수학적 개념은 그 자체로 객관적 존재물이라는 플라톤주의와 인간이 유한 번에 걸쳐 구성해 낼 수 있는 개념만이 수학적 존재물이라는 칸트주의의 대립을 조화시키고 두 이론을 하나로 통일하려고 한 사람이 힐베르트였다.
힐베르트 는 수학자들이 다루는 것은 논리적 형식, 즉 구조이며 개별 기호 각각의 의미(내용)가 아니므로 명제의 구조인 형식만 남기고 이를 수학의 탐구 대상으로 삼아야 한다는 논리를 세웟다. 형식주의 의 등장이다. 형식주의는 ‘수학은 전제로부터 결론을 유도해내는 ‘과정의 논리적 정당성(형식)’만을 탐구한다’는 수학관이다. “수학은 규칙을 정해놓고 하는 게임이다”
하지만 전제을 ‘자유롭게’ 구성할 수 있다는 말이 ‘임의로’ 구성할 수 있음을 의미하지는 않는다. 규칙이 성립되려면 어떤 규칙이라도 그 속에 모순을 함의하고 있으면 안된다. 즉 전제가 되기 위한 기본 조건으로 첫째 무모순성, 둘째, 가능하다면 모든 명제에 대하여 참과 거짓을 판별해 주어야 할 것. 즉 완전성이다.
정리하면 힐베르트가 제안한 이상적인 전제는
1. 모순을 품고 있어서는 안된다. (무모순성)
2. (유한 번의 단계를 거쳐서) 모든 명제의 참 거짓을 가려줄 수 있어야 한다. (완전성)
힐베르트가 제시한 공리는 플라톤적 의미에서의 자명한 진리에 바탕을 둔 것이 아니라 그저 무모순성만 만족하면 되고 완전성을 만족하면 더 좋은 그런 인간이 정한 규칙일 뿐이다.
플라톤주의에서는 객관세계가 수학의 진리성을 보장해 주며 직관주의에서는 인간 직관의 존재가 수학의 진리성르 보장해준다. 형식주의에서는 규칙(전제)이 의존하는 선험적 원리나 대상이 없으므로 그 규칙의 정당성은 규칙 자신이 보장해야 한다. 무한 집합론 공리 체계의 무모순성과 완전성은 ‘공릭체계 자신’이 스스로 확보해야 한다는 것이다. 하지만 1931년 25세의 청년 수학자 괴델 은 자연수론을 포함하는 그 어떤 공리체계도 완전하게 구성할 수 없고 도한 모순이 없게 구성할 수 조차 없다는 사실을 증명해 버린다. 이것이 괴델의 불완전성 정리이다 .
이렇게 해서 수학의 역사는 철학의 역사와 맞물려 굴러 왔다. 현대의 수학은 이제 어디로 가고 있는가?
수학의 원리 철학으로 캐다 대수학자 김용운 교수의 창의력 수학
수학을 포기하는 아이들에게 “그 재미있는 걸 왜 포기해?”라고 말할 수 있는 학부모나 선생님들이 과연 얼마나 있을까요? “수학을 왜 배워야 하지”라고 궁금해하는 아이들에게 제대로 답할 수 있는 사람들은 또 얼마나 될까요? “그런 쓸데없는 생각 같은 걸 하니까 네가 수학을 못하는 거야. 외워, 그냥 통째로 외워”라고 타박하지 않으면 그마나 친절한 축에 속할 겁니다. 대부분의 학부모나 선생님들은 아마도 아이들의 궁금증을 외면하면서 모르쇠로 일관할 거고요. 어떤 사람들은 “대학 안 갈 거야?”라고 협박(?)하기도 합니다. 그러면 어쩔 수 없이 아이들은 문제집에, 참고서에 코를 박고 수학문제 풀이에 열을 올리겠죠. 외우고 까먹고 또 외우고 까먹고. 어디가 시작이고 어디가 끝인지 알 수 없는 뫼비우스의 띠 위를 정처 없이 돌고 있는 게 지금 대한민국 아이들이 수학을 대하는 자세입니다.이 책은 수학에 관한 책입니다. 숫자 0의 발명에서부터 음수와 양수, 허수와 복소수, 도형, 피타고라스의 정리, 방정식과 근의 공식, 비례, 평면과 입체, 기하학과 대수학, 유한과 무한에 이르기까지 수학에 있어서 중요한 개념들이 빠짐없이 설명되어 있습니다. 하지만 동시에 이 책은 철학에 관한 책이기도 합니다. 철학의 아버지 탈레스에서부터 플라톤, 아리스토텔레스, 피타고라스, 유클리드, 데카르트, 니체에 이르기까지, 철학의 A부터 Z까지를 망라하고 있습니다. 어려울까요? 수학도 버거운데 철학까지? 아무래도 어렵겠는데. 하지만 단언하건대, 그건 잘못된 판단입니다.철학은 모든 학문의 근원입니다. 철학에 근본을 두지 않은 학문이란 있을 수 없습니다. 근본적으로 학문이라는 건 인류가 사유한 것들의 집합체이며, 철학은 곧 사유의 원석 같은 것이기 때문입니다. 이 책에서 말해지는 수학적 개념들 역시 고대 그리스에서 시작된 철학에 그 뿌리를 두고 있습니다. 숫자 0은 인도의 공(空)의 철학에서, 음수와 양수는 중국의 음양론에서 만들어졌다는 걸 아시는지요? 자연철학을 통해 무리수, 복소수가 탄생했고, 존재론을 통해 무한소와 무한대의 개념이, 플라톤과 아리스토텔레스의 이데아 철학이 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 토대가 되었다는 건요? 이후 몽테뉴와 데카르트의 회의론은 해석기하와 대수학을 탄생시켰다는 거, 알고 계시는지요?이 책의 주인공은 초등학교에 다닐 때는 수학을 좋아했고 곧잘 하기도 했지만, 졸업 후에는 시험을 볼 때마다 꼴찌를 도맡아 하는 중학교 2학년 소년입니다. 수학을 포기하는, 이른바 수포자가 되는 비율이 전체의 절반에 달한다는 대한민국 중학교 학생들. 이들이 진정으로 어려워하고 답답해하는 수학이란 정말 어떻게 생겨난 걸까요? 이 책은 가장 단순하면서도 간과하기 쉬운 이 질문에서부터 여행을 시작합니다.수학이란 정말 어떤 걸까요?수학을 탄생시킨 철학적 원리를 파헤쳐 가다보면, 수학이 얼마나 쉽고, 유쾌한 학문인지 저절로 깨닫게 될 것입니다. 독자 여러분도 이 여행에 동행하기를, 즐거운 마음으로 고대해봅니다.“수학이란 대체 뭘까?”어렸을 때 이런 고민을 해보지 않은 사람이 누가 있을까요? 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에서부터 분수와 도형 등 초등수학은 곧잘 했는데, 중학교에 들어가 집합, 방정식, 무리수, 좌표 등이 등장하면서부터는 머리가 아파지는 경험을 누구나 했을 겁니다. 문제를 풀 때도 분명 어디선가 본 것 같긴 한데 도저히 풀지는 못하겠는, 머리에 쥐가 나는 그런 경험, 한 번씩은 있을 겁니다. 대략 풀어서 어떻게 답은 맞았는데, 도무지 뭐가 어떻게 된 건지 하나도 이해가 안 갔던, 다음번에 같은 문제가 나오더라도 맞출 수 있을 것 같지가 않은 경험도, 해봤을 겁니다.수학은 정말 뭘까요? 수학은 살아가면서, 단적으로 어른이 된 후에는 정말이지 아무짝에도 쓸모없는 학문인 걸까요? 학교 성적을 위해, 입시를 위해 공부하고, 그 목적을 달성하면 까맣게 잊어버려도 좋을 일회성의 학문인 걸까요? 만약 그렇게 생각하고 있다면, 여러분은 수학의 아주 일부분밖에 알고 있지 못하는 겁니다. 수학을 활짝 핀 꽃이라 가정해볼까요? 계산이 수학의 전부다라고 생각하는 건 꽃잎에 맺힌 물 한 방울 정도를 알고 있는 셈인 거지요.그렇다면 정말 수학은 뭐죠? 수학은 생각하는 학문입니다. 실제로 수학을 떠올릴 때 가장 먼저, 가장 많이 드는 고정관념은 암기와 공식입니다. 이것만으로도 충분히 딱딱하고 어렵게만 느껴지죠? 하지만 걱정 마세요. 엄밀히 말해, 수학은 암기가 필요 없고, 정해진 공식이 없는 학문입니다. 수학은 철학이라는 뿌리에서 자라고 피어난 꽃이기 때문입니다. 철학이란 곧 생각하는 힘이며, 논리이며, 사유하고 창조하는 학문입니다. 다시 말해 수학은 논리적으로 사유하는 힘을 바탕으로 새로운 것을 창조해가는 학문이라는 것입니다.이 책의 주인공 돈아는 중학교 2학년생입니다. 공부는 곧잘 하지만 유독 수학만큼은 늘 꼴찌를 합니다. 수학이 싫고 수학이 어렵고 심지어 두려워하기까지 하죠. 여름방학 기말고사에서도 또 수학 꼴찌를 한 돈아는 엄마와의 약속을 지키기 위해 홍학동에 위치한 수학박사님을 찾아갑니다. 한 달 동안 수학 특훈을 받기 위해서죠. 하지만 막상 수학박사님을 만난 돈아는 어이가 없습니다. 이 수학박사님이라는 분은 가르쳐달라는 수학은 신경도 안 쓰고 철학, 오직 철학만을 공부하라고 얘기하고 있거든요. 심지어 수학천재를 만들어줄 테니 함께 철학여행을 가자고 제안합니다. 철학만 공부해서 어떻게 수학박사가 될 수 있었던 걸까요? 돈아는 의심하기 시작합니다. 그리고 그런 돈아 앞에는 전 세계의 수학지식으로 똘똘 뭉쳐져 만들어진 슈퍼컴퓨터 메소피아가 나타납니다. 어찌 되어가는 일인지, 머리가 핑핑 돕니다. 돈아는 정말, 수학꼴찌에서 벗어날 수 있을까요? 돈아가 바라고 바라는 수학천재가 될 수 있을까요?주인공 돈아는 우여곡절 끝에 수학박사님과 철학여행을 떠납니다. 시공을 초월할 수 있는 메소피아는 돈아와 박사님을 그리스에서부터 독일 등 유럽뿐만 아니라 중국, 인도, 전 세계로 안내합니다. 돈아는 이 여행을 통해 역사 속 철학자들과 수학자들을 만나 어렵고 낯설기만 했던 수학적 원리들에 대해 생각하고 토론하게 됩니다. 그러면서 차츰 수학 속에 숨어 있는 흥미로운 철학 이야기에 빠져들어 갑니다. 각 장의 내용을 살펴볼까요?1장입지(立志)의 중요성프리드리히 니체가 말하는 창조적 인생의 3단계가장 특별한 숫자, 0의 발명동양의 음양론이 음수를 탄생시켰다?라이프니츠와 기호학2장수학과 철학의 관계철학의 의미아르키메데스 이야기버트런드 러셀의 수 이야기십진법의 시작3장철학의 시작탈레스와 자연철학수학의 생명, 증명피라미드와 비례의 등장동치와 동치율4장신화에서 로고스로자연철학의 시작자연철학자들이 말하는 세상의 근원자연철학과 수의 확장; 실수에서 복소수로5장수와 도형을 하나로 연결한 피타고라스무리수의 등장피타고라스와 음악피타고라스의 황금비철학을 왜 공부해야 할까?6장증명의 시작파르메니데스와 존재론순간의 철학파르메니데스와 논리날아가는 화살을 잡을 수 있다?7장이집트의 수학과 그리스의 수학은 어떻게 다를까?작도에 관한 3대 난문기하학의 조건궁형의 넓이를 구하는 방법정다면체의 철학 이야기피타고라스와 수 신비주의8장아리스토텔레스와 이데아삼각형의 내각의 합은 정말 180도일까?그리스 철학의 황금기논리와 증명유클리드의 원론비유클리드 기하학의 등장9장회의론의 등장모든 것을 의심하는 데카르트의 철학1+1=2가 아니다?해석기하와 데카르트의 존재론기하학과 대수학10장자연철학의 진정한 의미수학은 수학이 아니라 논리학이다?피타고라스와 유클리드유한과 무한제논의 역설궁극적으로 수학의 참맛을 잃은 학생들에게 ‘진짜 수학 학습법(사고법)’을 익히게 하는 것이 이 책의 목표입니다. “왜 수학을 배워야 하는지 깨닫는” 일은 곧 창조적 인간이 되어가는 길과 동일선상에 있습니다. 수학에 어려움을 느끼고 포기하려는 학생에게는 지적 호기심과 열정을, 수학을 잘 모르지만 막연하게나마 중요하다고 느끼는 독자들에게는 인문적 교양과 배움의 즐거움을, 그리고 수학교육의 어려움을 여실히 느끼고 있는 일선의 교사분들에게는 풍요로운 교수법을, 이 책은 선사할 것입니다. 닫기
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