당신은 주제를 찾고 있습니까 “수학적 사고 – [짤막강연] 수학적 사고란?“? 다음 카테고리의 웹사이트 ppa.maxfit.vn 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://ppa.maxfit.vn/blog. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 이상엽Math 이(가) 작성한 기사에는 조회수 12,613회 및 좋아요 440개 개의 좋아요가 있습니다.
수학적 사고에는 추상화, 일반화, 연역적 사고, 유추적 사고, 통합적 사고, 발전적 사고, 수량화·기호화의 사고 등을 생각할 수 있습니다. 이와 같은 수학적 사고력과 함께 수학 지식을 갖춘다면 실생활의 다양한 수학적 문제 해결에 도움이 됩니다.
수학적 사고 주제에 대한 동영상 보기
여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!
d여기에서 [짤막강연] 수학적 사고란? – 수학적 사고 주제에 대한 세부정보를 참조하세요
후원 | 우리은행 1002-031-127166 (이상엽)
국립중앙과학관 강연 하이라이트 편집영상입니다.
원본 영상은 ▷https://youtu.be/FrkdTHGiwwM
#수학 #교양 #연산
http://이상엽Math.com
수학적 사고 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
수학적 사고란 무엇인가?, 숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책
도마베치 히데토 지음. 한진아 옮김. 북클라우드 펴냄. 수학적 사고란 무엇일까? 문제를 빠르게 푸는 것일까? 프로그램을 짜듯이 순서적으로 잘 풀어 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/19/2022
View: 2178
우리에게는 수학적 사고가 필요하다(원서/번역서 – 교보문고
생각의 힘을 기르는 48가지 사고법 | 왜 ‘지금’ 수학적 사고가필요한가?세상의 속도는 점점 빨라지고 있다.
Source: www.kyobobook.co.kr
Date Published: 5/12/2021
View: 8734
수학적인 사고의 방법 – 브런치
동전이 앞면이 나올 확률을 좀 더 수학적으로 접근하면 동전에서 나올 수 있는 경우는 앞면과 뒷면 두 가지고 그중에 앞면은 한 가지이므로 앞면과 뒷면이 …
Source: brunch.co.kr
Date Published: 10/18/2022
View: 4065
수학적 사고하기 – YES24
초등수학에서 산술과 대수의 통합많은 교실담화를 제공하면서, 교실 담화는 대수적 개념들이 어떻게 학생들의 사고에 실현되는 지, 어떤 문제나 질문들이 대수적 개념 …
Source: www.yes24.com
Date Published: 5/16/2021
View: 508
수학적 사고란 무엇인가?(2019.3.29.) : 우리들 서평단 < 동아리
이것은 수학적 사고의 방법론이 오랜 시간 축적된 결과라고 할 수 있다. 영국 옥스퍼드대학교 교수이자 서울고등과학원 석학교수인 이 책의 저자 …
Source: www.gjlib.go.kr
Date Published: 3/11/2021
View: 5978
수학적 사고 과정 관련의 평가 요소 탐색
문제해결 활동을 통하여 학습자의 수학적 사고. 과정을 자연스럽게, 그리고 정확하게 측정하는. 데 활용할 수 있을 것이다. 이렇듯, 수학 지도 및 평가를 통해 수학적 …
Source: www.ejce.org
Date Published: 10/26/2022
View: 2395
‘수학적 사고·끈기, 인생 자산될 것’ – 서울경제
수학적 사고·끈기, 인생 자산될 것” … “수학은 추상적 사고, 창의력, 논리력 등 4차 산업혁명 시대에 필요한 능력을 키우는 데 효과적인 학문입니다 …
Source: www.sedaily.com
Date Published: 12/11/2022
View: 3547
주제와 관련된 이미지 수학적 사고
주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 [짤막강연] 수학적 사고란?. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.
![[짤막강연] 수학적 사고란?](https://i.ytimg.com/vi/6PTpTJ8Coq4/maxresdefault.jpg)
주제에 대한 기사 평가 수학적 사고
- Author: 이상엽Math
- Views: 조회수 12,613회
- Likes: 좋아요 440개
- Date Published: 2022. 5. 23.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=6PTpTJ8Coq4
수학적 사고의 뜻
수학 학습과 관련이 깊은 사고로서 인지적 사고와 메타인지적 사고를 들 수 있습니다.
인지적 사고 란 지식의 생성과 회상에 적용됩니다. 예를 들어 물건의 개수를 세면서 수 개념을 익히고 여러가지 물체의 모양을 관찰하면서 도형을 떠올리는 일, 실생활에 관련된 문제를 방정식을 세워 해결하는 것 등이 이에 해당합니다.
메타인지적 사고 란 인지적 사고활동이 효율적으로 진행되도록 관찰, 통제, 조정하는 활동입니다. 어떤 문제를 해결하려고 할 때 하나의 방법만을 고집한다면 어려움에 처할 수 있습니다. 다각적으로 생각해 보면서 문제 해결책을 찾는 것은 매우 유익한 사고방식인데 메타인지가 발달되어 있는 경우입니다.
수학적 사고에는 추상화, 일반화, 연역적 사고, 유추적 사고, 통합적 사고, 발전적 사고, 수량화·기호화의 사고 등을 생각할 수 있습니다. 이와 같은 수학적 사고력과 함께 수학 지식을 갖춘다면 실생활의 다양한 수학적 문제 해결에 도움이 됩니다.
이러한 수학적 사고가 뛰어난 사람은 수학을 좋아하고 수학에 높은 가치를 부여합니다. 당연히 수학에 대한 태도가 긍정적이며 다음과 같은 특징을 같습니다.
수학적 사고란 무엇인가?, 숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책
도마베치 히데토 지음
한진아 옮김
북클라우드 펴냄
수학적 사고란 무엇일까? 문제를 빠르게 푸는 것일까? 프로그램을 짜듯이 순서적으로 잘 풀어 나가는 능력일까? 아니면 논리적 사고?
내가 수학을 전공하긴 했지만, 수학적 사고에 대한 명확한 개념이 없다 보니, 자신 있게 말할 자신이 없다.
마침 수학적 사고에 관련된 책이 있어서 보게 되었는데, 바로 ‘숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책’이 바로 그것이다. 인지 과학자 도마베치 히데토가 쓴 책으로 수학, 컴퓨터 사이언스, 인공지능, 양자역학, 비즈니스 등 다양한 영역의 예를 통해 그가 생각하는 진정한 수학적 사고가 무엇인지 이야기하고 있다.
수학적 사고를 설명하기 위해 우선 수학이 뭔지 말한다.
수학은 문제를 풀기 위한 도구가 아니라 문제를 찾기 위한 것이다. 그런데 왜 인간은 많은 문제를 해결할 수 없는 것일까? 문제가 무엇인지 모르기 때문이다. 비즈니스를 예를 들면 비즈니스는 단지 돈을 버는 것이 아니라 타인의 문제를 해결해 주는 데 있다. 해결하면 돈은 자연히 따른다. 수학도 비즈니스도 ‘문제를 찾는 것’이 중요하며, 제대로 문제를 파악할 수 있다면 답은 저절로 나오게 되어 있다.
수학을 배우는 이유는 두뇌 트레이닝의 효과와 함께 형식논리를 사용하여 수식화가 가능하기 때문이다. 수학은 일종의 잘 정리된 표현 도구인 것이다. 즉 수학은 언어와 같다. 각종 부호와 표기법은 영어, 중국어와 같은 문자와 같은 것이다. 표기를 모두 잘 알면 좋지만, 모른다고 해서 좌절할 필요는 없다. 잘 아는 사람이 이해할 수 있게 통역해주면 되는 것이다. 증명을 하고 문제를 일일이 풀 필요는 없다. 중요한 것은 공식이 뜻하는 것이 무엇인지 이해하는 것이다.
책 안에는 어떻게 수학식을 이해할 수 있는지 양자론을 통해 설명하고 있다.
양자론이 없었으면, 스마트폰, PC와 같은 똑똑한 전자기기 대부분이 나오지 못했다. 핵심 부품인 IC 칩이 터널 효과, 불확정성 원리와 관련이 있기 때문이다.
불확정성 원리는 더 나아가 신의 존재에 대한 증명까지도 도달하게 된다. 아인슈타인은 ‘신은 주사위 놀이를 하지 않는다’며 양자론을 부정했으나 괴델의 ‘불완전성 원리’에서는 ‘완전한 것은 없음’을 말하며 ‘신도 존재하지 않는다’에 이른다.
이처럼 수학적 사고는 수학을 도구로 사용하여, 누구도 보지 못했던 세계, 진실을 찾기 위한 사고를 할 수 있게 해주며, 사고실험을 통해 생각을 도형화하고 비주얼화하는 능력을 말한다.
수학적 사고를 좀 더 깊이 이해하기 위해 책에서는 인간과 사회가 어떻게 움직이는 지도 알아 보고 있다.
논리에 기본이라고 할 수 있는 연역법과 귀납법 중 앞에 말한 절대성이 무너졌기에 사회는 연역법으로 움직이지 않는다고 한다. 비즈니스 자체가 어떤 절대적인 법칙으로 움직이지 않기 때문이다. 다만 인간 사회에는 법률이 있어서 연역법의 공리와 같이 쓰일 수 있다. 그렇기 때문에 세계가 연역법으로 움직인다고 할 수는 있다고 보고 있다.
그리고 현실에서의 적용되는 확률의 법칙은 동전 던지기와 같은 수치상 절대적인 확률을 가지는 베이즈 이론이 아닌 ‘모든 사건은 독립 사건일 수 없다’라는 앞서 발생한 사건이 다음에 영향을 준다는 ‘뎀프스터 셰이퍼 이론을 따른다고 것이다.
추가로 그가 말하는 또 한 가지는 인간은 귀납법, 연역법도 아닌 가추법 일명 휴리스틱처럼 가까운 답을 찾는 근삿값의 추론 방식을 따른다고 한다. 그만큼 인간은 완벽하지 않은 존재이며, 모든 행동에 이유가 항상 맞는다고 할 수 없다. 인간은 논리적이지 않으며, 불합리한 면을 가지는 한정 합리적 존재인 것이다.
이와 같이 인간과 사회 특징을 알아 본 이유는 수학적 사고를 위한 근본적인 한계 조건을 인지하기 위해서다. 어떤 문제를 해결하기 위해선 현재 조건이 어떤지가 아주 중요하기 때문이다.
그리고 인간의 사고방식을 좀 더 알아보기 위해 그다음 장에선 인공지능을 다뤘으며, 이곳에서 그는 인간은 물리적인 자연 공간에만 속해 있지 않고, 생각을 통해서 물리 공간 밖을 자유롭게 드나들 수 있다. 그러므로 인간이 컴퓨터에 바둑을 졌다고 해서 두려워하고 충격받을 필요 없다고 주장한다. 논리적 사고는 컴퓨터 같은 계산기가 하면 되고, 인간은 좀 더 생각을 해야 한다는 것이다. 모든 기본 룰을 정하는 것은 인간이기에 기계 문명의 디스토피아는 인공지능이 아닌, 인간이 만드는 것이다. 따라서 디스토피아인가 유토피아인가는 인간에게 달려 있는 것이다.
마지막 장에는 비즈니스와 종교, 동일본 대지진 사건을 통해 수학적 사고를 통한 우아한 증명을 이끌어 내는 원리원칙을 이야기하고 있다. 앞에서 말한 명확한 룰을 만들기 위해선 제대로 된 원리원칙이 필요하다고 말한다. 잘못되거나 자주 변경되는 원칙, 해석을 제멋대로 하는 것은 전체적인 룰을 파괴하게 되고, 예측 가능한 결과를 만들기 어렵게 한다.
그리고 이런 완벽한 원리원칙을 발견하여 공리로 유지하려면, 자신의 경험과 지식을 쌓아야 한다. 지식의 카오스 속에서 새로운 것을 자유롭게 발상하여 현실화하는 과정에서 수학적 사고를 통한 새로운 문제를 찾음과 동시에 해결도 할 수 있다는 것이다.
어쩌면 이런 설명 과정이 오히려 복잡해 보이고 이왕이면 수학적 사고를 ‘A는 B이다’와 같이 간단히 정의해주면 좋을 텐데 할 수도 있을 것이다. 그렇지만, 이럴 경우 그 문장만을 보고 제멋대로 해석하는 오류를 범할 수 있다고 본다. 저자는 그런 오류를 범하지 않게 페르마의 마지막 정리, 양자론, 유클리드 기하학, 딥러닝 등의 예를 들어가며 설명한 것이다.
사실 저자가 말하는 수학적 사고의 개념은 맺음말에 잘 나와 있다.
수학적 사고는 예를 들어 어떤 상품을 보고 원가며 라이선스 비용, 속에서 돌아가는 부품과 원리까지 훤히 꿰뚫어 보는 것을 말하며, 전체적 이미지를 그릴 수 있는 것을 말한다.
단순히 계산을 잘하고 문제를 잘 푸는 것이 아닌, 자신의 지식을 동원하여 입체적으로 파악하는 것을 말하는 것이다. 모든 것이 가능하게 하는 사고가 바로 수학적 사고이며 문제를 찾아내고 해결하는 능력인 것이다. 수학자나 과학자가 아니더라도 자신의 분야에 꾸준히 경력을 쌓았다면 수학적 사고는 누구든 가능하다.
이 책은 170여 페이지 분량으로 그리 두껍지 않다. 내용도 쉬운 편이다. 하지만, 수학적 사고를 전체적으로 이해하기 위해선 신경 써서 읽거나 한번 더 읽어야 할 것이다.
나 역시도 두 번 읽을 수밖에 없었다. 하지만, 책을 곱씹는 재미가 아주 쏠쏠했다. 저자의 통섭적인 지식을 그대로 느끼기 충분했다.
그런데 이 책 제목 ‘숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책’ 때문에 읽어 보지 않은 분은 오해가 있을 수 있을 거 같다. 책 제목만 보고 수학 문제 잘 풀게 해주는 비법이 담겼나 할 수 있다. 절대 아니다. 하지만 수학의 재미나 흥미는 충분히 불러일으킬 수 있는 책이다. 양자론과 딥러닝과 같은 그의 설명은 아주 명쾌하고, 읽는 이에게 색다른 시각을 가질 수 있게 해준다. 수학, 과학을 즐기는 분에게는 더 할 나위 없는 책이고, 교양으로 보려는 분에게도 다양한 생각을 할 수 있게 해줄 것이다.
우리에게는 수학적 사고가 필요하다(원서/번역서: [해외]數學的思考トレ-ニング 問題解決力が飛躍的にアップする48問)
상품상세정보 ISBN 9788931586053 ( 8931586051 ) 쪽수 248쪽 크기 128 * 188 * 19 mm /317g 판형알림 이 책의 원서/번역서 數學的思考トレ-ニング 問題解決力が飛躍的にアップする48問 / 深澤眞太郞
책소개
이 책이 속한 분야
왜 ‘지금’ 수학적 사고가
필요한가?
세상의 속도는 점점 빨라지고 있다. 시시각각 변화하는 세상은 업무 방식뿐 아니라 인생과 가치관도 송두리째 뒤흔들어놓았다. 1년 전의 성공 법칙이 통용되지 않는다. 이런 시대에 정답을 찾는 것은 불가능에 가깝다. 정답을 찾기보다 스스로 생각해 답을 내놓아야 하는 시대가 됐다. 그래서 우리에게는 스스로 깊이 올바르게 생각하는 힘, 자생력이 필요하다. 이를 기를 수 있는 가장 좋은 방법이 바로 수학적으로 사고하는 것이다.
그렇다고 이 책에서 수학문제를 풀자고 하지 않는다. 수학 문제 풀이는 기계적인 계산에 가깝다. 수학적 사고는 계산하는 힘이 아니라 생각하는 힘이다. 저자는 책을 통해 그 차이를 정확하게 설명한다. 수학적으로 사고하면 쓸데없는 생각이나 논의를 하지 않게 된다. 어려운 문제도 간단히 풀 수 있다. 주관적이고 표면적인 생각이 아니라 논리적인 고찰이 가능해진다. 진리와 본질을 파헤칠 수 있고, 법칙을 보여줌으로써 설득력 있게 설명할 수 있다. 이런 순기능이 있기 때문에 수학적 사고가 무엇인지 올바로 아는 것만으로도 인생에 좋은 영향을 받을 수 있다고 강조한다. 때문에 수학에 거부감이 있는 사람도 꼭 읽어봐야 하는 책이다.
무언가를 근본부터 바꾸고 싶을 때
수학적 사고가 필요하다
사실 우리는 수학적으로 생각하지 않은 날이 하루도 없다. 가장 기본적으로 정의를 내리는 행위가 있다. 정의하지 않으면 가장 먼저 해야 할 일을 정할 수 없다. 정의가 기준을 만들기 때문에 모든 일의 시작에는 ‘정의 내리기’가 이뤄져야 한다. 분해와 비교를 이용한 분석, 정확하고 논리인 체계를 완성할 수 있는 구조화와 모델화도 이어져야 할 사고법이다. 이 책에서 저자는 이 다섯 가지 개념을 인생을 바꾸는 다섯 가지 사고 회로라고 표현한다. 수학적 사고를 익히면 원하는 무언가를 근본부터 바꿀 수 있게 된다. 생각의 기준이 바뀌고 방향이 변하니 당연한 결과이다. 그렇기에 무언가를 근본부터 바꾸고 싶을 때, 인생을 변화시키고 싶을 때 우리에게는 수학적 사고가 필요하다.
수학적으로 머리 쓰는 법을 배우면
생각을 설명할 수 있다
수학적 사고의 가장 큰 힘은 명확하지 않은 것을 명확하게 설명할 수 있다는 점이다. 불확실한 현재를 살아가는 지금, 우리는 스스로의 생각을 좀 더 명확하게 이야기해야 한다. 그 중심에 수학적 사고가 있다. 이 책에서는 48가지 질문을 통해 어떤 방식으로 생각을 정의해야 하는지 설명하며, 수학적 사고를 키우도록 돕는다. 질문에 답을 하다보면 자연스럽게 수학적으로 머리 쓰는 법을 익힐 수 있다. 수학적 사고 트레이닝으로 자생력을 기르면 결과적으로 모든 것이 변한다. 그 변화를 직접 경험해보기를 바란다.
상세이미지
목차
머리말 – 왜 ‘지금’ 수학적 사고가 필요한가?
이 책의 구성
제1장
‘수학적 사고’의 정체 – 인생을 바꾸는 다섯 가지 사고 회로
‘질문’에서부터 시작하자
‘수학적 사고’를 정의한다
‘수학적 사고’를 수식으로 설명한다
‘정의’, ‘분해’, ‘비교’, ‘구조화’, ‘모델화’
‘수학을 한다는 것’이란 무엇인가?
수학적으로 머리 쓰는 법은 다양한 상황에서 필요하다
‘수학적 사고란 무엇인가?’라는 질문의 답을 수학적 사고로 도출한다
제2장
정의 – 무엇부터 시작하면 좋은가?
‘그러한 것’과 ‘그렇지 않은 것’
‘정의’를 내리지 않으면 무슨 일이 벌어질까?
‘휴일’을 정의해보자
‘처음부터 거의 정해두는 것’이 수학적으로도 타당하다
근본부터 재검토해보고 싶을 때의 사고법
인생을 바꾸고 싶다면 정의를 바꾸어라
성과를 잘 내는 직장인을 판별하는 세 가지 질문
제3장
분해 – 어려운 문제는 작게 나누어 생각한다
‘인수분해’, ‘미분’, ‘적분’
‘분석’이란 무엇을 하는 것인가?
소(素)라는 글자의 본질-왜 잘게 나누는가?
‘누락 없이, 중복 없이’라는 감각은 이미 수학을 통해 배웠다
‘분해 뇌’를 키우자
‘분해 뇌’를 만들기 위한 트레이닝(정량 편)
‘분해 뇌’를 만들기 위한 트레이닝(정성 편)
고민이 생기면 수학으로 해결한다
제4장
비교 – 인간에게는 수가 필요하다
만약 ‘수’가 없다면 무슨 일이 일어날까?
여러 번 비교할수록 그 모습이 명확해진다
‘분해’↔‘비교’
데이터를 올바로 읽어내는 사람이 지니는 두 가지 습관
직감적인 비교를 어떻게 논리적인 비교로 바꿀 것인가 ①
직감적인 비교를 어떻게 논리적인 비교로 바꿀 것인가 ②
‘주관적으로 수치화한다’는 것은 어떤 의미인가?
‘멋진 사람’을 수학적으로 분석하라
남들과 비교하지 않아도 행복해질 수 있을까?
제5장
구조화 – 세상을 유추로 이해한다
수학의 ‘최종 목표’는 설명할 수 있는 상태로 만드는 것
체계화는 두 종류가 있다
‘짜임새’를 밝히는 트레이닝
언뜻 달라 보여도 실은 구조가 똑같은 것
유추 뇌를 만드는 트레이닝(기초 편)
유추 뇌를 만드는 트레이닝(응용 편)
구조화 실력을 비약적으로 높이는 습관
제6장
모델화 – 수학은 관계의 과학이다
우리는 함수에 둘러싸여 산다
함수를 ‘만들어본 적’이 있는가?
‘딱 적절한 정도’를 정해주는 수학적 사고
‘함수’가 아니라 ‘관련짓기’
왜 ‘관련짓기’를 하는가?
상품을 잘 팔려면 어떤 행동을 해야 하는지 알 수 있다
‘좋은 인재란?’ 수학적으로 설명하라
‘과제에 대한 의욕’을 수학적으로 설명하라
수학적 사고는 매우 섹시하다
맺음말 – 답을 내놓는 힘의 정체
책 속으로
_ 프롤로그 중
수학적 사고란 ‘수학을 할 때 머릿속에서 하는 행위’다. 당연한 말처럼 들리겠지만, 간과해서는 안 되는 내용이다. 머릿속에서 하는 행위라는 말은 기본적… 자기만의 답을 내놓기 위해서는 스스로 깊이 올바르게 생각해야 한다. 사실 이 행위는 이미 어린 시절 ‘수학 수업’을 통해 경험한다. 그렇다고 ‘어른이 된 지금 수학을 다시 공부하자’고 제안하는 것은 아니다. ‘학문’을 목적으로 삼는 게 아닌 이상, 이제 와서 수학 문제를 또 풀 필요는 없다. 하지만 수학 문제를 풀 때 사용했던 ‘수학 머리’는 다시 활용해야 한다._ 프롤로그 중수학적 사고란 ‘수학을 할 때 머릿속에서 하는 행위’다. 당연한 말처럼 들리겠지만, 간과해서는 안 되는 내용이다. 머릿속에서 하는 행위라는 말은 기본적… 더보기
_ 프롤로그 중
수학적 사고란 ‘수학을 할 때 머릿속에서 하는 행위’다. 당연한 말처럼 들리겠지만, 간과해서는 안 되는 내용이다. 머릿속에서 하는 행위라는 말은 기본적으로 팔다리를 사용하는 것도 아니고, 전자계산기 같은 사물이 대신 할 수 있는 것도 아니며, 오직 사람의 머리로만 할 수 있는 행위라는 뜻이다. 이처럼 명확하게 언어화하면 용어의 애매함이 사라진다. 이것이 바로 정의의 힘이다.
‘수학을 한다’는 것은 정의를 내린 후 분석하고 체계화함으로써 누구나 이해할 수 있도록 설명하는 행위다. 단순히 공식을 암기해 계산 문제를 푸는 기계적인 작업이 결코 아니다. ‘수학적 사고 트레이닝’의 개념도 이런 관점에서 이해해야 한다.
_ 제1장 ‘수학적 사고’의 정체 중
논리적 사고법을 배운 사람에게는 MECE(Mutually Exclusive, Collectively Exhaustive의 약자, 상호 배제와 전체 포괄)라는 이름으로 더 친숙한 개념이다. ‘서로 배타적인(=중복되지 않은) 요소들이 전체적으로 완전한(=누락 없는) 집합을 이루는 것’을 의미한다. 요컨대 ‘누락 없이, 중복 없이’와 같은 개념이다. 사실 수학은 ‘누락 없이, 중복 없이’ 분해하는 사고방식을 가르쳐주는 학문이다.
거듭 말하지만, 우리는 수학이라는 학문을 통해 누락 없이, 중복 없이 분해함으로써 문제를 해결하는 법을 배웠다. 그러니 자신이 ‘누락 없이, 중복 없이’ 잘 분해하고 있는지 스스로 확인하는 습관을 기르기 바란다.
_ 제3장 분해 중
주관적으로 수치화한다는 것은 매우 애매한 상태를(반강제적으로) 명료하게 만든다는 뜻이다. 수치화를 위해서는 기준을 정해야 한다. 그 기준 덕분에 비교할 수 있고, 기준과의 차이를 수치로 명백히 밝힐 수 있다. ‘비교’를 주제로 설명해온 이번 장을 요약해서 본질만 남긴다면 다음 한 문장으로 집약 가능하다. 비교는 차이를 명백히 밝히는 기능이다.
세상은 정성적이며 애매한 것들로 가득하다. 확실하게 선을 긋기가 어려운 것들이 수두룩하다. 만약 앞으로 인생에서 애매한 주제를 분석해야 할 때가 온다면 부디 이 책의 내용을 떠올려주기 바란다.
_ 제4장 비교 중
답을 내놓는 힘=수학적 사고 + 공포를 이기는 강한 마음
여러분은 진정한 의미의 ‘답을 내놓는 힘’을 지니고 있는가? 정의한다. 분해한다. 비교한다. 구조화한다. 모델화한다. 이 다섯 가지 행동을 조합하면 여러분은 앞으로 정답 없는 질문에 몇 번이든 대답할 수 있다. 하지만 그것은 답을 내놓는 행위의 극히 일부에 불과하다. 답은 찾는다고 찾아지는 게 아니다. 답은 자신의 힘으로, 도망치지 않고, 만들어내는 것이다.
_ 맺음말 중 자기만의 답을 내놓기 위해서는 스스로 깊이 올바르게 생각해야 한다. 사실 이 행위는 이미 어린 시절 ‘수학 수업’을 통해 경험한다. 그렇다고 ‘어른이 된 지금 수학을 다시 공부하자’고 제안하는 것은 아니다. ‘학문’을 목적으로 삼는 게 아닌 이상, 이제 와서 수학 문제를 또 풀 필요는 없다. 하지만 수학 문제를 풀 때 사용했던 ‘수학 머리’는 다시 활용해야 한다._ 프롤로그 중수학적 사고란 ‘수학을 할 때 머릿속에서 하는 행위’다. 당연한 말처럼 들리겠지만, 간과해서는 안 되는 내용이다. 머릿속에서 하는 행위라는 말은 기본적으로 팔다리를 사용하는 것도 아니고, 전자계산기 같은 사물이 대신 할 수 있는 것도 아니며, 오직 사람의 머리로만 할 수 있는 행위라는 뜻이다. 이처럼 명확하게 언어화하면 용어의 애매함이 사라진다. 이것이 바로 정의의 힘이다.‘수학을 한다’는 것은 정의를 내린 후 분석하고 체계화함으로써 누구나 이해할 수 있도록 설명하는 행위다. 단순히 공식을 암기해 계산 문제를 푸는 기계적인 작업이 결코 아니다. ‘수학적 사고 트레이닝’의 개념도 이런 관점에서 이해해야 한다._ 제1장 ‘수학적 사고’의 정체 중논리적 사고법을 배운 사람에게는 MECE(Mutually Exclusive, Collectively Exhaustive의 약자, 상호 배제와 전체 포괄)라는 이름으로 더 친숙한 개념이다. ‘서로 배타적인(=중복되지 않은) 요소들이 전체적으로 완전한(=누락 없는) 집합을 이루는 것’을 의미한다. 요컨대 ‘누락 없이, 중복 없이’와 같은 개념이다. 사실 수학은 ‘누락 없이, 중복 없이’ 분해하는 사고방식을 가르쳐주는 학문이다.거듭 말하지만, 우리는 수학이라는 학문을 통해 누락 없이, 중복 없이 분해함으로써 문제를 해결하는 법을 배웠다. 그러니 자신이 ‘누락 없이, 중복 없이’ 잘 분해하고 있는지 스스로 확인하는 습관을 기르기 바란다._ 제3장 분해 중주관적으로 수치화한다는 것은 매우 애매한 상태를(반강제적으로) 명료하게 만든다는 뜻이다. 수치화를 위해서는 기준을 정해야 한다. 그 기준 덕분에 비교할 수 있고, 기준과의 차이를 수치로 명백히 밝힐 수 있다. ‘비교’를 주제로 설명해온 이번 장을 요약해서 본질만 남긴다면 다음 한 문장으로 집약 가능하다. 비교는 차이를 명백히 밝히는 기능이다.세상은 정성적이며 애매한 것들로 가득하다. 확실하게 선을 긋기가 어려운 것들이 수두룩하다. 만약 앞으로 인생에서 애매한 주제를 분석해야 할 때가 온다면 부디 이 책의 내용을 떠올려주기 바란다._ 제4장 비교 중답을 내놓는 힘=수학적 사고 + 공포를 이기는 강한 마음여러분은 진정한 의미의 ‘답을 내놓는 힘’을 지니고 있는가? 정의한다. 분해한다. 비교한다. 구조화한다. 모델화한다. 이 다섯 가지 행동을 조합하면 여러분은 앞으로 정답 없는 질문에 몇 번이든 대답할 수 있다. 하지만 그것은 답을 내놓는 행위의 극히 일부에 불과하다. 답은 찾는다고 찾아지는 게 아니다. 답은 자신의 힘으로, 도망치지 않고, 만들어내는 것이다._ 맺음말 중 닫기
북카드
수학적인 사고의 방법
수학적인 사고라 함은 자신이 생각하는 부분을 수학적인 표현으로 바꾸는 것이라고 볼 수 있을 것입니다.
많은 사람들은 인지하지 못하는 부분에서 수학적인 사고를 합니다.
그중에서 대표적인 수학적인 사고는 확률일 것입니다.
동전의 앞면이 나올 확률은 50%라는 사실은 상식처럼 알고 있는 부분입니다.
동전이 앞면이 나올 확률을 좀 더 수학적으로 접근하면 동전에서 나올 수 있는 경우는 앞면과 뒷면 두 가지고 그중에 앞면은 한 가지이므로 앞면과 뒷면이 나올 수 있는 확률은 각각 50%입니다.
이러한 논리로 사고를 하는 것이 수학적인 사고의 한 가지 경우라고 할 수 있습니다.
그리고 경우를 나누는 것 또한 수학적인 사고라고 할 수 있습니다. 예를 두 갈래의 길이 있을 경우 왼쪽으로 가는 것이 좋을까? 오른쪽으로 가는 것이 좋을까? 판단하는 것도 수학적인 접근입니다.
이런 식으로 실제로 많은 사람들은 다양하게 수학적인 사고를 하고 그 사고를 통해서 판단을 합니다.
하지만 수학적인 판단을 한다고 생각을 하지 못합니다. 그 이유는 아마도 너무도 쉬운 수학이라서 미처 수학이라고 인지하지 못하는 것이라고 저는 생각합니다.
|거리의 수학적인 접근
예를 들어 다음 그림처럼
직선이 있고 하나의 점이 있다고 생각을 해봅시다.
여기서 수학적인 사고를 할 수 있는 방법은 여러 가지가 있을 것입니다.
만약에 점과 직선의 거리를 알고 싶다고 가정을 한다면 우선 점과 직선의 거리가 어떤 의미를 갖는지를 알아야 할 것입니다.
점과 직선의 거리는 서로 “수직”의 관계를 갖는다는 것을 알아야 합니다
수직이 거리인 이유는 수직만이 단일값을 값을 갖습니다. 수직이 아닌 다른 거리는 동일한 두개의 위치값을 갖습니다. 그래서 거리는 수직의 관계에서 표현합니다.
서로 수직의 관계를 알았다면 거리를 어떻게 알아낼 수 있을까요?
우선 제일 직관적인 방법은 거리를 직접 자로 재서 알아낼 수 있습니다.
그럼 자로 잴 수 없다면 어떻게 해야 할까요?
이때 좌표라는 개념을 적용할 수 있습니다.
좌표라는 수학적인 개념을 이용하여 점과 직선에 일종의 기준을 마련할 수 있습니다.
그럼 여기서 좌표를 어떻게 잡을 까요? 엄밀히 말해서 기준은 없습니다.
아마 이 글을 보는 대부분의 사람은 좌표가 정해져 있는 문제만 보았을 경우가 많을 것입니다.
기준은 정하는 사람의 마음입니다. 하지만 수식이 간단하게 만들어질 수 있는 좌표를 잡는 것이 가장 효율적인 좌표를 잡는 것이라고 생각합니다.
그럼 실제로 거리를 어떻게 구할지 생각을 해본다면 공식을 알고 있는 사람은 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 쉽게 거리를 구할 수 있을 것입니다.
하지만 제가 이야기하고 싶은 목적은 수학적인 사고를 어떻게 하는지에 대해서 이야기하는 것이 목적이기 때문에 공식의 이야기는 접어두도록 하겠습니다.
이제 본격적으로 거리를 구하는 부분에 대해서 생각을 해보도록 하겠습니다.
그럼 직선과 점의 거리는 어떻게 구할 수가 있을까요?
거리를 구하기 위해서 사용할 수 있는 방법 중의 하나가 피타고라스의 정리입니다.
피타고라스의 정리는 변의 길이를 알고 하나의 각이 직각인 삼각형을 이용하여 한 변의 길이를 구할 수 있는 방법입니다.
점과 직선 사이의 거리 또한 수직을 이루어야 하기 때문에 피타고라스의 정리를 적용할 수 있다는 생각을 할 수 있습니다.
그럼 여기서 추가로 더 알아야 하는 것은 두변의 길이를 찾아내는 것입니다.
두변의 길이는 어떤 방식으로 알아볼 수가 있을까요?
두변을 구하기 위해서 꼭 공식을 적용해야 할 필요는 없습니다. 당연히 공식을 이용하면 조금은 간편하게 거리를 구할 수 있습니다.
하지만 제가 이야기하고 싶은 것은 공식을 이용하는 것이 아니라 접근을 이야기하고 싶습니다. 수학적인 논리는 다양한 접근을 통해서 수학적인 표현을 할 수 있는 능력이 중요하다고 생각합니다.
그럼 다시 처음 주어줬던 그림에서 x축과 y 축을 다음과 같이 정하고 약간 회전을 하면 마지막 그림처럼 표현할 수 있습니다. 그럼 y절편과 점의 거리가 되는 것이고 점의 좌표를 알고 있다면 x좌표의 거리가 점과 직선 사이의 거리가 되는 것입니다.
이러한 관점에서 수학을 접근할 수 있다면 고정된 방식으로 문제를 해결하는 것이 아니라 문제의 조건을 벗어나지 않는 범위 안에서 조건을 재해석하고 다른 관점을 적용해본다면 수학적인 사고능력이 향상될 수 있을 것이라고 생각합니다.
|수학적 사고에 의한 문제 해결의 접근 방법
위의 도형에서 x값을 구하는 문제가 있습니다.
아마도 수학에 대한 기억이 있으신 분이라면 이문제는 피타고라스를 이용하면 구할 수 있겠다고 생각을 하실 수 있을 것입니다.
맞습니다. 중학교 교과서에도 나오는 형태의 문제이고 피타고라스를 이용하면 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.
하지만 제가 이야기하고 싶은 부분은 문제의 질문을 어떤 식으로 해석하고 이해할 것이냐의 문제입니다.
x를 과연 어떻게 해석할 수 있을까요? 피타고라스의 정리로 문제를 해결한다는 것은 x를 어떻게 해석한 것일까요?
제가 보는 문제의 관점은 피타고라스의 정리로 문제를 해결한다는 것은 x를 길이의 개념으로 해석했다는 것입니다.
피타고라스의 정리는 직각삼각형에 대한 길이의 관계를 이용한 것이라고 볼 수 있습니다.
그래서 직각삼각형의 부분을 이용하여 피타고라스의 정리를 두 번 이용한다면 문제를 해결 할 수 있을 것입니다.
다시 문제의 질문을 다르게 해석해보겠습니다. x를 삼각형의 변의 길이로 파악할 수 있습니다. 그럼 논리적인 수순으로 삼각형의 닮음비에 대한 논리로 접근할 수 있습니다.
기존의 작은 직각삼각형을 위의 그림과 같이 위치를 바꾸어서 보면 닮음비를 적용하여 간단하게 문제를 해결할 수 있다.
다시 질문을 다르게 바라보겠습니다. 이번에 삼각형의 높이로 해석할 수 있습니다.
그럼 전체 사각형의 넓이의 반과 밑변의 길이가 5이고 높이가 x 인 삼각형의 넓이는 같습니다. 그래서 넓이의 같음을 이용하여 문제를 해결하는 방법을 적용할 수 있습니다.
|수학적인 사고 단계
위에서 보았듯이 문제를 어떤 식으로 바라보고 해석을 어떻게 하며 어떠한 지식을 적용할 것인지에 따라서 문제를 해결하는 방법이 달라질 수 있습니다.
수학적인 사고 단계란 이처럼 해결하고자 하는 부분을 파악하고 해석을 하는 것이 첫 번째입니다.
이때 문제의 상황과 어떠한 조건들이 있는지를 보면서 자신이 알고 있는 지식을 적용하면 되는 것이고 만약에 필요한 지식을 모르고 있다면 그때 필요한 지식을 정리하여 해결하고 하는 문제의 핵심을 파악할 수 있다고 생각합니다.
그다음 단계는 주어진 조건에 따라서 실제로 실행을 해보는 것입니다. 그림을 그려야 한다면 그림을 그리고 좌표에 표현을 해야 한다면 좌표에 표현을 하고 수식을 정리해야 한다면 수식을 정리를 하면서 자신이 해결하고 하는 문제의 방향에 따라서 실행합니다. 이 때는 수리적인 이해력이 중요합니다. 표현을 한다는 것을 이해를 하고 있어야만 표현이 가능하다고 생각합니다.
마지막 단계는 앞의 단계의 종합적인 논리적인 판단입니다. 자신이 해석인 문제의 방향과 수리적인 표현이 논리적으로 맞아야 합니다. 만약에 결과가 다르다면 이 부분의 논리적인 부분이 잘못되었다는 것을 반증합니다.
간혹 (산수) 계산이 잘못되는 경우 있지만 계산이 잘못되었다는 부분을 배재합니다.
수학적 사고하기
위스컨신대학의 교과교육학과 교수이며, ‘국가 수학,과학 학습 및 성취도 향상 센터의 센터장이다.
위스컨신대학의 교과교육학과 교수이며, ‘국가 수학,과학 학습 및 성취도 향상 센터의 센터장이다.
수학적 사고란 무엇인가?(2019.3.29.) : 우리들 서평단 < 동아리
수학=어려운 과목이라는 등식은 많은 ‘수포자’를 양산했으며 심지어 수학은 일상생활에 전혀 필요 없는 과목이라고 생각하는 사람들도 있다. 그런데 지금은 읽기보다 훨씬 더 보편적인 능력이 된 기초 산수인 사칙연산이 고대에는 전문가들의 영역이었다는 사실을 알고 있나요? 수학이 역사적인 과정을 거치면서 확률 개념 역시 17세기에는 비전문가들은 이해 못하는 영역이었지만 요즘은 누구나 ‘내일 비가 올 확률 몇 %’라고 쉽게 말할 수 있다. 이것은 수학적 사고의 방법론이 오랜 시간 축적된 결과라고 할 수 있다.
영국 옥스퍼드대학교 교수이자 서울고등과학원 석학교수인 이 책의 저자 김민형은 서울대학교 수학과를 졸업했고 예일대학교에서 박사학위를 받았다. 그는 ‘페르마의 마지막 정리’에서 유래된 산술대수기하학의 고전적인 난제를 위상수학의 혁신적인 방식으로 해결하여 세계적 수학자의 반열에 올랐다.
‘수학이 필요한 순간’은 강의를 하면서 함께 대화를 나누는 방식으로 되어 있으며, 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담고 있다. 기본적인 수학의 원리부터 기술과학과 우주에 대한 이해, 인문학으로 분류되는 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 핵심을 만날 수 있다.
이 책에 의하면 “수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고 그에 필요한 개념적 도구를 만들어가는 과정”(p 107)이라고 말한다. “빛은 어떻게 이동하는가?”라는 17세기의 과학자 페르마의 질문이 몇 백 년에 걸쳐 뉴턴의 운동법칙, 아인슈타인의 상대성이론으로 발전한 것처럼, 수학의 질문은 수 세기를 이어가며 세상을 탐구하고 이론을 정립해 나간다.
수학이 필요한 순간 / 김민형 지음
“수학은 특정한 논리학이나 기호학과 같은 학문이 아니라, 우리가 세상을 이하고 설명하는 방식이라는 것”(p 266)은 의심의 여지가 없다. 역사적인 흐름 속에서 중요한 수학 이론은 점점 일반인들의 상식이 되어왔다. 지금 우리에게 다소 어려운 문제들도 언젠가는 상식이 될 것이다. 이런 상식이 차곡차곡 쌓인다면 여러분은 수학적 사고에 더욱 가까워지고 있는 중일 것이다.
이 책은 수학을 쉽게 설명한 책은 아니다. 난해하지만 사람을 끌어당기는 힘을 직관적으로 느낄 때 얻는 그 순수한 지적 즐거움을 이 책을 읽으면서 경험하길 바란다.
“수학적 사고·끈기, 인생 자산될 것”
< 저작권자 ⓒ 서울경제, 무단 전재 및 재배포 금지 >
“수학은 추상적 사고, 창의력, 논리력 등 4차 산업혁명 시대에 필요한 능력을 키우는 데 효과적인 학문입니다. 자신의 수준에 맞는 문제의 답을 끈질기게 찾아가는 과정에서 이 같은 재능이 성장하게 됩니다. 어려운 문제풀이에 지쳐 수포자(수학 공부를 포기한 사람)가 되기보다 쉬운 문제를 풀면서 소소하지만 확실한 성공의 기쁨을 즐기는 수학 공부가 더욱 중요합니다.”최근 ‘마음에도 공식이 있나요?(덴스토리 펴냄)’를 출간한 조난숙(사진) 한성대 교양학부 교수는 서울경제와의 인터뷰에서 “ 수포자를 양산하는 입시 위주의 교과과정이 미래 인재 육성에 걸림돌”이라며 이같이 말했다.조 교수는 미국 위스콘신주립대에서 수학해석학(확률론)으로 박사학위를 받은 뒤 국내에서 교수로 재직하며 마음과 소통에 대한 관심의 끈을 놓지 않고 심리학 연구에 매진해 상담심리학 박사 마저 따냈다. 이과와 문과를 넘나들며 공부한 그는 “심리학을 공부할 때 수학적인 사고가 큰 도움이 됐다”면서 “수학으로 훈련된 사람은 논리력, 추리력, 추상적 사고력, 일반화 능력, 탐구력, 창의력 등이 발달하기 때문”이라고 설명했다.조 교수는 수포자를 양산하는 교육 현실을 안타까워했다. 그의 주장대로 수학을 끈질기게 공부해야 하는 이유는 따로 있었다. 그는 “고등학교 때까지 입시를 위해 어려운 문제풀이에 집중하다 보니 수학공부를 통해 얻을 수 있는 여러 가지 재능을 키울 기회를 놓쳐버리게 된다”면서 “수학은 끈기와 인내력을 키우는 데 좋은 교과목으로 자신의 실력보다 쉬운 문제를 포기하지 않고 꾸준하게 풀어나가는 마음가짐이 중요하다”고 설명했다. 그는 이어 “노력하면 누구나 할 수 있는 수학을 왜 싫어하고 못하는지 이전에는 이해하지 못했지만, 상담심리학을 공부한 후 수학을 어려워하는 학생들을 이해하게 됐다”고 말했다. 수학을 못 하는 학생들의 마음속에 두려움과 수치심이 내재돼 있다는 사실을 알게 됐다는 그는 “이젠 그들의 마음을 다독여줄 수 있는 눈을 가지게 된 것”이라고 덧붙였다.상담심리학자가 된 후 행복하다고 말하는 조 교수는 “학생들에게 ‘수학을 잘하지 못해도 괜찮다. 부끄러운 일이 아니다’ 라는 말로 격려하면 학생들이 의외로 더 큰 자신감을 갖게 되는 경우가 많다”면서 “비록 수학성적은 떨어져도 은근과 끈기를 키우는 학창시절을 보내야 한다”고 강조했다. 그는 이어 “수학에서 길러진 은근과 끈기는 자신의 전공 분야에서 빛을 발하게 된다”며 “작은 성공의 경험은 사회인이 된 후 어려운 문제에 부딪혔을 때 뒤로 물러서지 않고 이겨내는 능력이자 자산이 될 것”이라고 조언했다. /장선화 백상경제연구원 연구위원 [email protected]
키워드에 대한 정보 수학적 사고
다음은 Bing에서 수학적 사고 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.
이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!
사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 [짤막강연] 수학적 사고란?
- 수학
- 수능
- 모의고사
- 이상엽
- 사관
- 가형
- 나형
- math
- mathmatics
- conjecture
- korea
- korean
- theorem
- 대학
- 무료
- 강의
- 인강
- 수학의
- 수학의신
- 문제
- 추측
- 가설
- 정리
- 정의
- 공리
- 증명
- 가우스
- 오일러
- 리만
YouTube에서 수학적 사고 주제의 다른 동영상 보기
주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 [짤막강연] 수학적 사고란? | 수학적 사고, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.