연속 함수 | 42. 함수의 연속 – 개념정리1 상위 138개 베스트 답변

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위상수학과 해석학에서 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

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연속함수 – 나무위키:대문

다시 말해서 어떤 점에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 존재하면서 값이 같으면 연속이라는 뜻이다. [ 정의 ] 실수 위에서 정의된 함수 f : R …

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Date Published: 8/2/2021

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함수의 연속 기초개념 잡기 ◕3◕ (연속,불연속,구간,최대최소 …

연속함수는 구간안에 속하는 모든 x값에서 연속일때의 함수이다. 그 구간안의 모든 점들이 위에서 보았던 연속일 조건 3가지를 다 만족한다는 것이다. ​.

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Date Published: 8/20/2022

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연속함수

함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 …

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Date Published: 2/20/2021

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연속함수 – 리브레 위키

연속함수(連續函數, Continuous Function)란, 말 그대로 함수의 그래프가 끊어지지 않고 계속 이어져 있는 함수를 말한다. 물론 이는 기하학적인 직관 …

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Date Published: 10/15/2021

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[수2 이론 10탄] 함수의 연속 01 – winner

보통 연속함수라고 하면 그래프가 끊어지지 않고 계속 연결된 함수를 의미합니다. 이것을 수학적으로 표현을 하면..??? 수학적으로 표현을 할 때 그래프를 …

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Date Published: 5/12/2021

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연속함수에 대한 고등학교 교과서의 정의와 고등학생들의 이해1)

본 연구에서는 연속함수에 대한 오개념 이미지의 원인을 찾기 위하여 고등학교 수학Ⅱ 교과. 서와 수학과 고등학교 교육과정해설서를 조사 분석하고 고등학교 학생들을 …

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Date Published: 3/23/2021

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[두 번째 수학이야기] 함수의 극한과 연속

연속해서 정의되어 있는 함수를 뜻하는 것입니다. 그럼 함수가 연속인지 또는 불연속인지. 어떻게 구분할 수 있을까요? 여기서 함수의 극한의 개념과.

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Date Published: 11/28/2022

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위키백과, 우리 모두의 백과사전

위상수학과 해석학에서 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

정의 [ 편집 ]

점에서의 연속성

위상 공간 X {\displaystyle X} 및 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 f {\displaystyle f} 를 점 x {\displaystyle x} 에서 연속(continuous at the point x {\displaystyle x} )이라고 한다.

임의의 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 근방 V ∋ f ( x ) {\displaystyle V

i f(x)} f ( U ) ⊆ V {\displaystyle f(U)\subseteq V} x {\displaystyle x} 근방 U ∋ x {\displaystyle U

i x}

근방 근방 임의의 그물 x α ∈ X {\displaystyle x_{\alpha }\in X} x α → x {\displaystyle x_{\alpha }\to x} f ( x α ) → f ( x ) {\displaystyle f(x_{\alpha })\to f(x)}

위상 공간 X {\displaystyle X} 및 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수라고 한다.

임의의 열린집합 U ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq Y} 원상 f − 1 ( U ) ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(U)\subseteq X} 열린집합이다.

원상 열린집합이다. 임의의 닫힌집합 C ⊆ Y {\displaystyle C\subseteq Y} 원상 f − 1 ( C ) ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(C)\subseteq X} 닫힌집합이다.

원상 닫힌집합이다. f {\displaystyle f} X {\displaystyle X}

임의의 부분 집합 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} f ( cl ⁡ ( A ) ) ⊆ cl ⁡ ( f ( A ) ) {\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} (f(A))} cl {\displaystyle \operatorname {cl} } 폐포를 일컫는다.

폐포를 일컫는다. 임의의 부분 집합 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} cl ⁡ ( f − 1 ( B ) ) ⊆ f − 1 ( cl ⁡ B ) {\displaystyle \operatorname {cl} (f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} B)}

위상 공간 X {\displaystyle X} 및 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 를 점렬 연속 함수(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

임의의 점렬 x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} x i → x {\displaystyle x_{i}\to x} f ( x i ) → f ( x ) {\displaystyle f(x_{i})\to f(x)}

좌·우 연속성 [ 편집 ]

어떤 구간 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } 및 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수 f : I → Y {\displaystyle f\colon I\to Y} 및 실수 r ∈ I {\displaystyle r\in I} 에 대하여, 다음을 정의하자.

만약 lim x → r + f ( x ) = f ( r ) {\displaystyle \lim _{x\to r^{+}}f(x)=f(r)} f {\displaystyle f} r {\displaystyle r} 우연속 ( 영어: right-continuous )이다.

( )이다. 만약 lim x → r − f ( x ) = f ( r ) {\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}f(x)=f(r)} f {\displaystyle f} r {\displaystyle r} 좌연속( 영어: left-continuous )이다.

성질 [ 편집 ]

위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} 및 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} 에 대하여, 그 합성

g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}

역시 연속 함수이다.

콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 에서 하우스도르프 공간 Y {\displaystyle Y} 으로 가는 모든 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 닫힌 함수이다. 특히, 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 전단사 연속 함수와 위상 동형 사상(즉, 역함수가 연속 함수인 전단사 연속 함수)이 서로 동치이다. 이에 따라 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주는 균형 범주이다.

두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 연속 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 에 대하여, 다음이 성립한다.

임의의 두 위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 제1 가산 공간이라면, X {\displaystyle X} 와 Y {\displaystyle Y} 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

거리 공간에서의 연속 함수 [ 편집 ]

두 거리 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} 및 ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} 사이의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

f {\displaystyle f} x {\displaystyle x}

임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ ϵ > 0 {\displaystyle \delta _{\epsilon }>0} 임의의 x ′ ∈ X {\displaystyle x’\in X} d X ( x , x ′ ) < δ ϵ {\displaystyle d_{X}(x,x')<\delta _{\epsilon }} d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) < ϵ {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))<\epsilon } f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} 점렬 x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X} x i → x {\displaystyle x_{i}\to x} f ( x i ) → f ( x ) {\displaystyle f(x_{i})\to f(x)} 실수값 연속 함수 [ 편집 ] 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 위의 두 연속 함수 f , g : X → R {\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} } 에 대하여, 다음이 성립한다. f + g : X → R {\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} } f g : X → R {\displaystyle fg\colon X\to \mathbb {R} } 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 g {\displaystyle g} r {\displaystyle r} r f : X → R {\displaystyle rf\colon X\to \mathbb {R} } 만약 모든 x ∈ X {\displaystyle x\in X} f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x) eq 0} 1 / f {\displaystyle 1/f} 실수 위의 함수 [ 편집 ] 실수 구간 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } 으로부터 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 로 가는 함수 f : I → Y {\displaystyle f\colon I\to Y} 및 임의의 실수 r ∈ I {\displaystyle r\in I} 에 대하여, 다음이 성립한다. f {\displaystyle f} r {\displaystyle r} f {\displaystyle f} r {\displaystyle r} 예 [ 편집 ] 실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다. 모든 다항식 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 지수 함수 exp : R → R {\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 사인 sin : R → R {\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 코사인 cos : R → R {\displaystyle \cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 절댓값 | ⋅ | : R → R {\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 다음 함수는 연속 함수가 아니다. 부호 함수 sgn : x ↦ { 1 x > 0 0 x = 0 − 1 x < 0 {\displaystyle \operatorname {sgn} \colon x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}} 참고 문헌 [ 편집 ] 같이 보기 [ 편집 ]

함수의 연속 기초개념 잡기 ◕3◕ (연속,불연속,구간,최대최소 정리,사이값정리)

x=a에서 연속을 만족하는 조건은 총 3가지가 존재한다. 우선 함숫값이 존재해야 하며 극한값이 존재해야 한다. 그다음 함숫값과 극한값이 일치해야 한다. 생각해보면 너무 당연한 소리다. 함수가 연속하려면 기하학적으로는 x=a인 지점에서 그래프가 쭉 이어져 있어야 하는데 함숫값이 없거나 발산 또는 우극한과 좌극한이 달라 극한값이 존재하지 않는 그래프라면 이어져 있는 그래프가 아닐 것이다.

​

그리고 3가지 조건 중 하나라도 만족하지 않는다면 연속하지 않는다는 점을 기억하자. 꼭 3가지를 다 만족시켜야 한다.

​

x=a에서 불연속

연속함수 – SASA Math

직관적으로, 함수가 연속이라는 것은 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것이다. 그러나 이와 같은 직관적 개념만으로는 명확하게 다룰 수 없는 연속함수의 성질들이 있다. 이 글에서는 연속성을 엄밀하게 정의하고 연속성으로부터 파생되는 여러 가지 성질들을 살펴본다.

연속함수의 정의

연속의 정의는 한 점에서의 연속과 집합에서의 연속으로 구분하여 생각할 수 있다. 먼저 한 점에서의 연속의 정의를 살펴보자.

정의 1. (점에서의 연속성; 극한을 이용한 정의) 함수 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되었다고 하자. 이 때 만약 \[\lim_{x\to c}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 연속 이다’라고 말한다. 함수 \(f\)가 \(c\)를 왼쪽 끝점으로 갖는 한 반닫힌 구간 \( [ c , \, d ) \)에서 정의되었다고 하자. 만약 \[\lim_{x\rightarrow c^+}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 우연속 이다’라고 말한다. 함수 \(f\)가 \(c\)를 오른쪽 끝점으로 갖는 한 반열린 구간 \((b,\,c]\)에서 정의되었다고 하자. 만약 \[\lim_{x\to c^-}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 좌연속 이다’라고 말한다. \(c\)가 함수 \(f\)의 정의역의 점이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이 아닐 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 불연속 이다’라고 말한다.

함수의 정의역이 닫힌 구간인 경우, 구간의 왼쪽 끝점에서는 함수의 연속과 우연속을 같은 개념으로 간주하며, 구간의 오른쪽 끝점에서는 함수의 연속과 좌연속을 같은 개념으로 간주한다.

함수의 연속성을 다음과 같이 \(\epsilon – \delta\) 논법으로 정의할 수도 있다.

정의 2. (점에서의 연속성; \(\epsilon-\delta\)를 이용한 정의) 함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간, 또는 \(c\)를 닫힌 끝점으로 갖는 반닫힌구간에서 정의되었다고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \( |x-c| < \delta\)인 모든 \(x \in D\)에 대하여 \(|f(x) - f(c)| < \epsilon\)이 성립하면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 연속이다’라고 말한다. 참고. \(D\)가 공집합이 아닌 집합이고 \(c \in D\)라고 하자. 만약 \(\delta > 0\)가 존재하여 \((c-\delta ,\, c+\delta) \cap D\)의 원소가 \(c\) 밖에 없을 때, 즉 \(c\) 주변에 \(D\)의 원소가 없을 때 \(c\)를 \(D\)의 고립점이라고 부른다. 정의 1에 따르면 \(c\)가 함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)의 정의역의 고립점일 때 \(c\)에서 \(f\)의 극한이 정의되지 않으므로 \(c\)에서 \(f\)이 연속성 또한 정의되지 않는다. 그러나 만약 정의 2에서 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되었다는 가정을 제거하면 \(c\)는 \(f\)의 정의역의 고립점이 될 수도 있으며, 이 경우 정의 2에 따르면 \(f\)는 \(c\)에서 연속의 조건을 만족시킨다. 이 때문에 책에 따라서는 \(c\)가 \(f\)의 정의역의 고립점일 때 \(f\)는 \(c\)에서 연속이라고 정의하기도 한다.

정의 3. (집합에서의 연속성) 함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)와 \(D\)의 부분집합 \(E\)가 주어졌다고 하자. 만약 \(E\)의 모든 점에서 \(f\)가 연속이면 ‘\(f\)는 \(E\)에서 연속이다’라고 말한다. 만약 \(f\)가 정의역의 모든 점에서 연속이면 ‘\(f\)는 연속함수이다’라고 말한다.

보기 1. \(p\)가 다항함수이면 모든 점에서 \(p\)의 극한값은 함숫값과 같으므로, 모든 다항함수는 연속함수이다. 마찬가지로 분수함수는 분모가 \(0\)이 되지 않는 점에서 극한값과 함숫값이 같으므로, 모든 분수함수는 연속함수이다.

보기 2. 최대정수함수 \(\lfloor x \rfloor\)는 모든 정숫점에서 불연속이며, 정수가 아닌 모든 점에서는 연속이다. 정숫점에서는 우연속이지만 좌연속은 아니다. 또한 모든 정숫점에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 이처럼 함수 \(f\)가 \(c\)에서 불연속이지만 \(c\)에서 \(f\)의 좌극한과 우극한이 모두 존재할 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 단순불연속이다’라고 말한다. 단, \(c\)가 \(f\)의 정의역의 왼쪽 끝점이거나 오른쪽 끝점인 경우에는 \(c\)에서 \(f\)의 한방향 극한만 존재하여도 \(f\)는 \(c\)에서 단순불연속이다. 단순불연속이 아닌 모든 불연속을 제 2 종 불연속이라고 부른다.

참고. 책에 따라서는 ‘닫힌 구간에서의 연속성’을 따로 정의하기도 한다. 즉 ‘함수 \(f\)가 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 것’을 ‘\(a < x < b\)인 모든 \(x\)에서 연속이고, \(a\)에서 우연속이며 \(b\)에서 좌연속인 것’으로 정의하기도 한다. 이와 같이 정의하면 \(a,\) \(b\)에서 불연속이지만 \([a,\,b]\)에서는 연속인 경우가 존재하게 된다. 예컨대 함수 \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)를 \[f(x) = \begin{cases} 2 \quad&\text{if} \,\, 1 \le x \le 3 \\[8pt]0\quad&\text{otherwise}\end{cases}\] 으로 정의하면 \(f\)는 \(1,\) \(3\)에서 불연속이지만 \([1,\,3]\)에서 연속이 된다. 연속함수의 성질 극한의 대수적 성질로부터 다음과 같은 연속함수의 성질을 얻는다. 정리 1. (연속함수의 대수적 성질) 함수 \(f\)와 \(g\)가 모두 \(c\)에서 연속이라고 하자. \(f+g ,\) \(f-g ,\) \( fg \)도 모두 \(c\)에서 연속이다. 만약 \(k\)가 실수이면 \(kf\)도 \(c\)에서 연속이다. 만약 \(g(c) e 0\)이면 \(f/g\)도 \(c\)에서 연속이다. \(n\)이 자연수이면 \(f ^ n\)도 \(c\)에서 연속이다. \(n\)이 자연수이고 \(\sqrt[n]{f}\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린구간에서 정의되면 \(\sqrt[n]{f}\)도 \(c\)에서 연속이다. 증명 \(x\,\to\,c\)일 때 극한의 성질에 의하여 \[\begin{align} (f+g)(x) = (f(x)+g(x)) &\,\to\, (f(c)+g(c)) = (f+g)(c),\\[8pt] (f-g)(x) = (f(x)-g(x)) &\,\to\, (f(c)-g(c)) = (f-g)(c),\\[8pt] (fg)(x) = (f(x)g(x)) &\,\to\, (f(c)g(c)) = (fg)(c),\\[8pt] (kf)(x) = (k f(x)) &\,\to\, (k f(c)) = (kf)(c),\\[8pt] (f/g)(x) = (f(x)/g(x)) &\,\to\, (f(c)/g(c)) = (f/g)(c),\\[8pt] (f^n )(x) = (f(x))^n &\,\to\, (f(c))^n = (f^n )(c),\\[8pt] \sqrt[n]{f}(x) = \sqrt[n]{f(x)} &\,\to\, \sqrt[n]{f(c)} = \sqrt[n]{f}(c) \end{align}\] 이므로 정리에서 주어진 함수는 모두 \(c\)에서 연속이다. 두 연속함수를 합성하였을 때 그 결과는 연속함수가 된다. 정리 2. (합성함수의 연속성) 함수 \(f\)가 \(c\)에서 연속이고 함수 \(g\)가 \(f(c)\)에서 연속이면 합성함수 \(g \circ f\)는 \(c\)에서 연속이다. 증명 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(g\)가 \(f(c)\)에서 연속이므로 \(\delta_1 > 0\)이 존재하여 \( |y-f(c)| < \delta_1 \)인 임의의 \(y\)에 대하여 \(|g(y) - g(f(c)) | < \epsilon\)이 성립한다. \(\delta_1\)이 양수이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 \(\delta > 0\)가 존재하여 \( |x-c| < \delta\)인 임의의 \(x\)에 대하여 \(|f(x) - f(c)| < \delta_1\)이 성립한다. 즉 \[\begin{align} |x-c| < \delta \quad & \Rightarrow \quad |f(x) - f(c)| < \delta_1 \\[8pt] & \Rightarrow \quad |g(f(x)) - g(f(c))| < \epsilon \\[8pt] & \Rightarrow \quad |(g \circ f)(x) - (g \circ f)(c)| < \epsilon \end{align}\] 이므로 \(g \circ f\)는 \(c\)에서 연속이다. 비슷한 방법으로 다음 정리를 얻는다. 정리 3. (함수의 연속성과 합성함수의 극한) 함수 \(f,\) \(g\)가 주어졌다고 하자. 만약 \(x \,\to\, c\)일 때 \(f(x) \,\to\, b\)이고, \(g\)가 \(b\)에서 연속이면 다음이 성립한다. \[\lim_{x\,\to\,c} g(f(x)) = g(b) = g\left( \lim_{x\,\to\,c} f(x) \right) .\] \[\lim_{x\,\to\,c} g(f(x)) = g(b) = g\left( \lim_{x\,\to\,c} f(x) \right) .\] 증명 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(g\)가 \(b\)에서 연속이므로 \(\delta_1 > 0\)이 존재하여 \( |y-b| < \delta_1 \)인 임의의 \(y\)에 대하여 \(|g(y) - g(b) | < \epsilon\)이 성립한다. \(\delta_1\)이 양수이고 \(f\)가 \(c\)에서 \(b\)에 수렴하므로 \(\delta > 0\)가 존재하여 \( 0

연속함수의 사잇값 정리

정리 4. (연속함수의 사잇값 정리) 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(a)

e f(b)\)라고 하자. 만약 \(C\)가 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이에 있는 값이면 \(f(c) = C\)를 만족시키는 점 \(c\)가 \((a,\,b)\)에 존재한다.

증명 \(f(a) < C < f(b)\)인 경우만 증명해도 충분하다. 왜냐하면 \(f(a) > C > f(b)\)인 경우에는 같은 방법으로 증명하면 되기 때문이다. 다음과 같은 집합을 생각하자. \[E = \left\{ x \in [a,\,b] \,\vert\, f(x) \le C \right\}\] 이 집합은 공집합이 아니고 위로 유계이므로 실수계의 성질에 의하여 \(E\)의 상한이 존재한다. 그 점을 \(c\)라고 하자. 이제 \(c\)가 바로 \(f(c)=C\)를 만족시킨다는 것을 보여야 한다. \(n\)이 자연수일 때 \(1/n\)은 양수이므로 상한의 성질에 의하여 \[c- \frac{1}{n} < x_n \le c \] 를 만족시키는 점 \(x_n\)이 \(E\)에 존재한다. 샌드위치 정리에 의하여 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(x_n\,\to\,c\)이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(f(x_n ) \,\to\, f(c)\)이다. 그런데 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \in E\) 즉 \(f(x_n ) \le C\)이므로 \(f(c) \le C\)이다. 한편 \(c < b\)이므로 \(n\)이 자연수일 때 \[c < y_n < c+ \frac{1}{n}\] 을 만족시키는 점 \(y_n\)이 \([a,\,b]\)에 존재한다. 샌드위치 정리에 의하여 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(y_n\,\to\,c\)이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(f(y_n )\,\to\,f(c)\)이다. 그런데 \(y_n\)은 \(E\)에 속하지 않으므로 임의의 \(n\)에 대하여 \(C \le f(y_n)\) 즉 \(C \le f(c)\)이다. 요컨대 \(f(c) \le C \le f(c)\)이므로 \(f(c)=C\)이다. 연속함수의 최대 최소 정리 \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. 만약 \(m \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(m\le x\)이면 \(m\)을 \(E\)의 최솟값이라고 부른다. 비슷한 방법으로 함수의 최댓값과 최솟값을 정의할 수 있다. 정의 4. (함수의 최댓값과 최솟값) \(f\)가 정의역이 \(D\)인 실숫값 함수라고 하자. 만약 \(c_1 \in D\)이고, 임의의 \(x\in D\)에 대하여 \(f(x) \le f(c_1 )\)이면 ‘\(f\)는 \(c_1\)에서 최댓값 을 가진다’ 또는 ‘\(f\)는 \(D\) 위에서 최댓값 \(f(c_1)\)을 가진다’라고 말한다. 만약 \(c_2 \in D\)이고, 임의의 \(x\in D\)에 대하여 \(f(c_2 ) \le f(x )\)이면 ‘\(f\)는 \(c_2\)에서 최솟값 을 가진다’ 또는 ‘\(f\)는 \(D\) 위에서 최솟값 \(f(c_2)\)를 가진다’라고 말한다. 닫힌 구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 정리 5. (연속함수의 최대 최소 정리) 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라고 하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 증명 먼저 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계임을 보이자. 즉 양수 \(X\)가 존재하여 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(\lvert f(x) \rvert\le X\)가 성립함을 보이자. 결론에 반하여 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아니라고 가정하자. 그러면 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(x_n ) > n\)인 점 \(x_n\)이 \([a,\,b]\)에 존재한다. 이 때 \(\left\{x_n \right\}\)은 모든 항이 \([a,\,b]\)에 속하는 수열이므로 유계이다. 그러므로 유계 수열의 성질에 의하여 \(\left\{x_n \right\}\)의 항을 일부를 모아서 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 그 수열을 \(\left\{y_k \right\}\)라고 하자. \([a,\,b]\)가 닫힌 구간이므로 \(\left\{y_k \right\}\)의 극한값은 \([a,\,b]\)에 속한다. 그 극한값을 \(c\)라고 하자. \(\left\{y_k \right\}\)는 \(f(x_n ) > n\)을 만족시키는 수열 \(\left\{x_n \right\}\)의 일부 항을 모아 만든 수열이므로 \(k\,\to\,\infty\)일 때 \(f(y_k )\,\to\,\infty\)이다. 그런데 \(f\)는 연속함수이고 \(k\,\to\,\infty\)일 때 \(y_k \,\to\,c\)이므로 \(f(y_k ) \,\to\, f(c)\)이다. 이것은 \(f(y_k )\,\to\,\infty\)라는 사실에 모순이다. 그러므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 위로 유계이다. 같은 방법으로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 아래로 유계임을 증명할 수 있다. 이제 다음과 같은 집합을 생각하자. \[E = \left\{ f(x) \,\vert\, x \in [a,\,b]\right\}\] 그러면 \(E\)는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 실수계의 성질에 의하여 \(E\)의 상한이 존재한다. 그 상한을 \(M\)이라고 하자. 만약 \(M\)이 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 최댓값이 아니라면, 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) < M\)이 성립한다. \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \[h(x) = \frac{1}{M - f(x)}\] 이라고 하면 \(h\)는 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 잘 정의된 연속함수이다. 그러므로 앞의 논의에 의하여 \(h\)는 \([a,\,b]\)에서 위로 유계이다. 즉 양수 \(Y\)가 존재하여 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(h(x) < Y\)가 성립한다. 이것은 \[\frac{1}{M-f(x)} < Y\] 즉 \[f(x) < M - \frac{1}{Y}\] 이 성립함을 의미한다. 한편 \(M\)은 \(E\)의 상한이고, \(M - 1/Y\)는 \(M\)보다 더 작은 값은 값이므로 \(f(x) > M-1/y\)인 점 \(x\)가 \([a,\,b]\)에 존재한다. 이것은 모순이므로 \(M\)은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 최댓값이다. 같은 방법으로 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 최솟값이 존재함을 증명할 수 있다.

역함수의 연속성

함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 그래프 또한 끊어지지 않고 이어져 있게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다.

정리 6. (역함수의 연속성) 함수 \(f\)가 닫힌 구간 \(I\)에서 연속이고 일대일인 함수라고 하자. 그리고 \(f\)의 치역을 \(J\)라고 하자. 그러면 역함수 \(f^{-1} :J \to I\) 또한 연속이다.

이 정리를 증명하기 위해서는 다음과 같은 보조정리가 필요하다.

정리 7. (단조수렴 정리) \(h\)가 구간 \(I\)에서 정의된 증가함수이고 \(d\)가 \(I\)의 끝점은 아닌 점이라면 \(d\)에서 \(h\)의 좌극한과 우극한은 모두 수렴한다. 만약 \(d\)가 \(I\)의 왼쪽 끝점이고 \(h\)가 \(I\)에서 아래로 유계라면 \(d\)에서 \(I\)의 우극한이 수렴하며, 만약 \(d\)가 \(I\)의 오른쪽 끝점이고 \(h\)가 \(I\)에서 위로 유계라면 \(d\)에서 \(I\)의 좌극한이 수렴한다.

증명 \(d\)가 \(I\)의 끝점이 아닌 점이라고 하자. 그리고 집합 \[E = \left\{ h(x) \,\vert\, x \in I ,\, x < d \right\}\]를 생각하자. 이 집합은 위로 유계이므로 실수계의 성질에 의하여 \(E\)의 상한이 존재한다. \(E\)의 상한은 \(E\)의 원소일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만, 그것은 상관 없다. 그 점을 \(L\)이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(L\)이 \(E\)의 상한이므로 \(L – \epsilon < h(a) \le L,\) \(a < d\)인 점 \(a\)가 존재한다. \(\delta = d-a\)라고 하면 \(d - \delta < x < d\)일 때 \[L - \epsilon < h(x) \le L\] 이므로 \(d\)에서 \(h\)의 좌극한은 \(L\)에 수렴한다. 같은 방법으로 \(d\)에서 \(h\)의 우극한이 존재함을 보일 수 있다. \(d\)가 \(I\)의 끝점인 경우의 증명도 이와 비슷하다. 증명을 여기에 너무 상세히 써주면 재미가 없을테니 직접 증명해보기 바란다. 이제 역함수의 연속성을 증명하자.

리브레 위키

연속함수(連續函數, Continuous Function)란, 말 그대로 함수의 그래프가 끊어지지 않고 계속 이어져 있는 함수를 말한다. 물론 이는 기하학적인 직관을 이용한 설명이고, 실제 수학적인 정의는 이것과는 다르다. 어떤 함수의 연속성은 해석학에서 매우 중요하게 다루는 주제이며, 위상수학으로 넘어가서도 위상 공간상의 연속이라는 개념으로 계속 나온다. 대한민국의 수학 교육 과정상, 연속함수는 고등학교에서 배우게 되지만, 고교 수학이 다 그렇듯이 수학적 엄밀함이 아닌 직관에 의존하여 설명한다.

1 해석학에서 [ 편집 ]

1.1 정의 [ 편집 ]

정의역 [math]\displaystyle{ D }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이라는 말은, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이 성립함을 의미한다. 엡실론-델타 논법을 사용하여 설명하면, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립함을 의미한다.

이 정의는 세 가지 사실을 하나로 함축하고 있다. 고등학교에서는 아래 세 가지 성질을 모두 만족해야 그 점에서 연속인 것으로 가르친다.

[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 이 정의역의 원소이다. 즉, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right) }[/math] 이 정의되어 있다. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f\left(x\right) }[/math] 이 존재한다. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math] 이다.

이 정의가 과연 수학적으로 엄밀한가에 대한 의문이 떠오를 수도 있는데, 이 정의를 배우기 전에 무엇을 배웠는가에 따라 답이 달라진다. 학부에서는 극한의 엄밀한 정의를 집고 넘어가기 때문에 위 정의만으로도 충분히 엄밀하지만, 고등학교에서는 극한의 엄밀한 정의따위는 가볍게 씹고 넘어가기 때문에 위 정의만으로는 엄밀하지 않게 된다(…).

만약 저 세 성질 중에 단 하나라도 성립하지 않는다면 연속함수가 아니게 된다. 1번 성질이 성립하지 않는다면 그 점에서의 연속성을 논하는 것 자체가 의미 없다. 2번은 성립하나 1번이 성립하지 않을 경우, 아니면 1, 2번은 성립하나 3번이 성립하지 않을 경우 그래프에 구멍이 하나 뚫린 형태를 가지며, 만약 1번은 성립하나 2번이 성립하지 않을 경우에는 그래프가 그 점에서 껑충 뛰는 형태를 가지게 된다. 이 때, 전자를 removable discontinuity, 후자를 jump discontinuity라 부른다.

만약 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 주어진 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 모든 점에서 연속이라면, 우리는 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math]에서 연속이라고 부른다.

좌극한, 우극한을 정의할 수 있듯이, 좌연속, 우연속도 정의할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x_0}^+}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math] 이 성립하면 우연속

이 성립하면 우연속 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x_0}^-}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math] 이 성립하면 좌연속

이라 부른다. 그럼, 어느 한 점에서의 연속성은 그 점에서 좌연속이고 동시에 우연속인 것과 동치임을 쉽게 알 수 있다.

1.2 기본 성질 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 의 근방에서 정의되어 있다고 하자. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속이라면, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 로 수렴하는 정의역 내의 임의의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math] 에 대해, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=f\left(x_0\right) }[/math] 이다. 역도 성립한다. 이 정리는 수열을 사용하여 연속성을 정의할 수 있게 해준다. 증명은 함수의 극한을 수열의 극한으로 나타낼 수 있다는 사실에서 쉽게 유도된다. 참고로 이 성질은 수열의 극한을 교환할 수 있음을 증명하기도 한다. 즉, 연속함수 [math]\displaystyle{ f }[/math] 와 수렴하는 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math] 에 대해, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=f\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right) }[/math] . [math]\displaystyle{ f,\,g }[/math] 가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속인 함수라고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ f+g,\,f\cdot g }[/math] 도 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속이다. 만약 [math]\displaystyle{ g\left(x_0\right)

eq0 }[/math] 이면, [math]\displaystyle{ f/g }[/math] 도 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속이다. 극한의 성질에 의해 쉽게 유도된다. [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속이고, [math]\displaystyle{ g }[/math] 가 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right) }[/math] 에서 연속이라면, [math]\displaystyle{ \left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right) }[/math] 도 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속이다. [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] 이 주어졌다 하자. [math]\displaystyle{ g }[/math] 가 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right) }[/math] 에서 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \eta\gt 0 }[/math] 가 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|y-f\left(x_0\right)\right|\lt \eta }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(y\right)-g\left(f\left(x_0\right)\right)\right|\lt \varepsilon }[/math] 이 성립한다. 한편, [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math] 이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt \eta }[/math] 가 성립한다. 따라서, 주어진 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] 에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] 가 존재하여, [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(f\left(x\right)\right)-g\left(f\left(x_0\right)\right)\right|\lt \varepsilon }[/math] 이 성립한다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 연속임을 의미한다.

1.3 주요 정리 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 닫혀있고 유계(bounded)인 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속이면, [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 그 구간에서 유계이다. 중요한 것은 닫혀있고 유계인 구간이라는 것이다. 만약 (반)열린구간이거나 유계인 구간이 아니면 연속함수 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 굳이 유계일 필요가 없다. 증명은 최대 최소의 정리의 보조정리를 참고. [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속이면, [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 최대 최소의 정리로 알려진 정리. 고등학교에서는 증명을 하지 않고 사용한다. 증명은 항목 참조. [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속이고, [math]\displaystyle{ k }[/math] 가 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math] 와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math] 사이의 값이면, 적당한 [math]\displaystyle{ c }[/math] 가 구간 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math] 에 적어도 하나 존재해 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=k }[/math] 이다. 중간값 정리로 알려진 정리. 역시 고등학교에서는 증명을 하지 않고 사용한다. 증명은 항목 참조. [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속이고, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\in\left[a,b\right] }[/math] 이면, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)=x_0 }[/math] 을 만족하는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 가 적어도 하나 존재한다. 고정값 정리로 알려진 정리. 증명은 다음과 같다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)=a }[/math] 이거나 [math]\displaystyle{ f\left(b\right)=b }[/math] 이면 명제는 당연히 성립한다. 따라서, [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt a,\,f\left(b\right)\lt b }[/math] 로 가정하자. [math]\displaystyle{ g\left(x\right):=f\left(x\right)-x }[/math] 로 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ g }[/math] 는 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속이다. 한편, [math]\displaystyle{ g\left(a\right)=f\left(a\right)-a\gt 0 }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ g\left(b\right)=f\left(b\right)-b\lt 0 }[/math] 이므로, 중간값 정리에 의해 [math]\displaystyle{ g\left(x_0\right)=0 }[/math] 을 만족하는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 가 존재한다. 따라서, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)=x_0 }[/math] . [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속인 단사함수(injective function=injection)라면, [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 그 구간에서 강단조 함수이다. [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\lt f\left(b\right) }[/math] 라 먼저 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 강증가 함수가 아니라면, 적당한 [math]\displaystyle{ x_1,\,x_2\in\left[a,b\right] }[/math] 가 존재하여, [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\geq f\left(x_2\right) }[/math] 을 만족한다. 만약 등호가 성립하면 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 단사함수라는 가정에 모순이므로, [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\gt f\left(x_2\right) }[/math] 이다. 그럼 두 가지 가능성을 생가할 수 있다. [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\gt f\left(b\right) }[/math] : [math]\displaystyle{ k\in\left(f\left(b\right),f\left(x_1\right)\right) }[/math] 인 [math]\displaystyle{ k }[/math] 를 고른다. 그럼, 중간값 정리에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ c_1\in\left(a,x_1\right) }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_1\right)=k }[/math] 이고, [math]\displaystyle{ c_2\in\left(x_1,b\right) }[/math] 가 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_2\right)=k }[/math] 이다. 그런데 [math]\displaystyle{ c_1

eq c_2 }[/math] 이므로, 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 단사함수라는 조건에 모순이다. [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\lt f\left(b\right) }[/math] : 그럼, [math]\displaystyle{ f\left(x_2\right)\lt f\left(b\right) }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ k\in\left(f\left(x_2\right),f\left(x_1\right)\right) }[/math] 인 [math]\displaystyle{ k }[/math] 를 고른다. 그럼, [math]\displaystyle{ k\in\left(f\left(x_2\right),f\left(b\right)\right) }[/math] 임은 자명하다. 다시 중간값 정리에 의해, 적당한 [math]\displaystyle{ c_1\in\left(x_1,x_2\right) }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_1\right)=k }[/math] 이고, [math]\displaystyle{ c_2\in\left(x_2,b\right) }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_2\right)=k }[/math] 이다. 그런데 [math]\displaystyle{ c_1

eq c_2 }[/math] 이므로, 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 단사함수라는 조건에 모순이다. 따라서, [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 강증가 함수이다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt f\left(b\right) }[/math] 라면, 같은 증명을 [math]\displaystyle{ -f }[/math] 에 적용하면 된다. [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] 에서 연속인 단사함수라면, [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] 도 [math]\displaystyle{ \left[m,M\right] }[/math] 에서 연속이다. 여기서, [math]\displaystyle{ M=\sup f\left(x\right),\,m=\inf f\left(x\right) }[/math] 이다. 최대 최소의 정리, 중간값 정리에 의해, [math]\displaystyle{ f }[/math] 의 치역은 [math]\displaystyle{ \left[m,M\right] }[/math] 이다. 또한, [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 단사함수이므로 [math]\displaystyle{ f^{-1}:\left[m,M\right]\to\left[a,b\right] }[/math] 은 잘 정의된다. 이제, [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] 을 구간 [math]\displaystyle{ \left[m,M\right] }[/math] 내의 임의의 원소라 가정하자. [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] 가 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] 에서 연속임을 보이면 충분하다. [math]\displaystyle{ \left\{y_n\right\}\subseteq\left[m,M\right] }[/math] 가 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] 로 수렴하는 임의의 수열이라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ f^{-1}\left(y_n\right)\to f^{-1}\left(y_0\right) }[/math] 임을 증명해도 된다. [math]\displaystyle{ x_0=f^{-1}\left(y_0\right),\,x_n=f^{-1}\left(y_n\right) }[/math] 이라 정의하고, [math]\displaystyle{ x_n

ot\to x_0 }[/math] 라 가정하자. 그럼, 적당한 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] 에 대해, [math]\displaystyle{ \left|x_n-x_0\right|\geq\varepsilon }[/math] 을 만족하는 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math] 이 무수히 많이 존재한다. 여기서, [math]\displaystyle{ \left\{x^*_n\right\} }[/math] 을 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ \left|x^*_n-x_0\right|\geq\varepsilon }[/math] 을 만족하는 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math] 의 부분수열이라 가정하자. 그럼, 이 부분수열은 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열이 존재한다. 이 부분수열을 [math]\displaystyle{ \left\{\hat{x_n}\right\} }[/math] 라 가정하고, 수렴값을 [math]\displaystyle{ c }[/math] 라 하자. 그럼, 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\hat{x_n}-x_0\right|\geq\varepsilon }[/math] 이고, [math]\displaystyle{ \hat{x_n}\to c\in\left[a,b\right] }[/math] 이다. 분명히, [math]\displaystyle{ c

eq x_0 }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 [math]\displaystyle{ c }[/math] 에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ f\left(\hat{x_n}\right)\to f\left(c\right) }[/math] 이 성립한다. 그런데, [math]\displaystyle{ \left\{f\left(\hat{x_n}\right)\right\} }[/math] 은 [math]\displaystyle{ \left\{f\left(x_n\right)\right\}=\left\{y_n\right\} }[/math] 의 부분수열이고, [math]\displaystyle{ y_n\to y_0=f\left(x_0\right) }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=f\left(x_0\right) }[/math] 이다. 그런데 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math] 가 단사함수라는 조건에 모순이므로, [math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math] 이어야만 한다. 따라서, [math]\displaystyle{ f^{-1}\left(y_n\right)\to f^{-1}\left(y_0\right) }[/math] .

1.4 균등 연속 함수 [ 편집 ]

이와 관련한 내용은 이와 관련한 내용은 균등 연속 함수 에서 볼 수 있습니다.

어떤 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서의 연속성을 조사할 때, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]값은 보통 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]와 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]값에 모두 영항을 받는다. 즉, 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 연속성은 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]값에 영향을 받는 국소적인 연속이다. 그럼, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]값에 영향을 받지 않는 연속성에 대한 의문이 자연히 떠오를 것이다. 달리 말하면, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]값이 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에만 영향을 받는 연속성을 말한다. 우리는 이러한 연속성을 균등 연속(Uniform continuous)이라 부르며, 균등 연속은 대역적인 연속성이다. 좀 더 자세한 설명은 균등 연속 함수를 참조.

1.5 이야깃거리 [ 편집 ]

수학에 관심이 있는 사람이라면, 모든 점에서 불연속인 함수가 존재하는지에 대해 생각해 본 적이 있을 것이다. 모든 점에서 불연속인 대표적인 함수는 바로 디리클레 함수이며, 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\begin{cases}1,&\text{if }x\in\mathbb{Q}\\0,&\text{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]

여기서, 값을 어떻게 주냐에 따라 모든 점에서 불연속인 함수를 무수히 많이 만들 수 있다. 직관적으로 생각하면 이 함수는 모든 점에서 불연속임이 명백해 보인다. 그러나, 집합론적으로 접근하면 상당히 기괴한 결과인데, 유리수의 집합은 셀 수 있는 집합(countable)이며 무리수의 집합은 셀 수 없는 집합(uncountable)이므로,[1] 무리수의 농도는 실수 자체의 농도와 동일하다. 즉, 실수체는 거의 전부 무리수로 구성되어 있고, 사이사이에 듬성듬성 유리수가 존재한다는 식의 잘못된 직관을 가질 수 있다. 그러나 구간을 아무리 작게 잡더라도 무리수만으로 구성되는 구간을 특정할 수는 없다.

물론, 이 사실 역시 수학적인 증명이 필요하며, 증명은 유리수와 무리수의 조밀성을 이용한다.

증명 임의의 [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R} }[/math] 을 고르자. 유리수의 집합은 실수 집합 안의 조밀 집합이므로, 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math] 에 대해, [math]\displaystyle{ x^*_n\in\left(x_0-\tfrac{1}{n},x_0+\tfrac{1}{n}\right) }[/math] 을 만족하는 유리수 [math]\displaystyle{ x^*_n }[/math] 이 존재한다. 그럼, 이 유리수의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x^*_n\right\} }[/math] 은 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 으로 수렴함을 쉽게 보일 수 있다. 마찬가지 방법으로, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 로 수렴하는 무리수의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x^{‘}_n\right\} }[/math] 을 찾을 수 있다. 그런데, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x^*_n=\lim_{n\to\infty}1=1

eq0=\lim_{n\to\infty}0=\lim_{n\to\infty}x^{‘}_n }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 에서 불연속이다. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 는 임의의 값이었으므로, [math]\displaystyle{ f }[/math] 는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 에서 불연속이다.

미분을 배웠다면, 미분가능성이 연속성을 의미하지만, 연속이 미분가능을 의미하지 않음을 배웠을 것이다. 그럼, 과연 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분가능하지 않은 함수가 존재하는지에 대한 의문이 들 수도 있다. 이런 함수의 대표적인 예로는 바이어슈트라스 함수가 있으며, 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos\left(b^n\pi x\right) }[/math] . 단, [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] , [math]\displaystyle{ b }[/math] 는 홀수인 자연수, 그리고 [math]\displaystyle{ ab\gt 1+\tfrac{3}{2}\pi }[/math] .

이 함수가 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분가능하지 않다는 사실은 1872년에 카를 바이어슈트라스에 의해 증명이 되었다. 이 함수는 부분이 전체를 닮은 프랙탈의 성질을 갖는 함수이며, 이 함수를 프랙탈 연구의 시초로 보는 시각도 존재한다. 참고로 프랙탈이라는 용어는 1975년에 가서야 등장한다.

이외에도 눈꽃모양을 하고있는 Koch snowflake 역시 모든 점에서 연속이지만, 모든 점에서 미분가능하지 않다.

2 위상수학에서 [ 편집 ]

위상공간 [math]\displaystyle{ X, Y }[/math] 에 대하여 [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] 는 다음을 만족할 경우 연속함수이다.

[math]\displaystyle{ \forall{A\underset{\text{open}}{\subseteq}Y},\;\;f^{-1}(A)\underset{\text{open}}{\subseteq}X }[/math], where [math]\displaystyle{ f^{-1}(A):=\{x\in X~|~f(x)\in A\} }[/math]

실수공간에 표준적인 위상을 정의하고 따져보면 처음의 정의와 이 정의가 동치가 된다. 즉, 이 정의가 해석학에서의 연속함수 정의의 상위호환이다. 위상공간의 조건이 매우 약하기때문에 집합이기만 하면 위상공간의 정의가 가능하며, 위상공간이 정의되면 위 정의에 의해 연속함수도 정의된다. 즉, 이 정의로 인해 ‘연속적이다’라는 직관과 동떨어진 수많은 연속함수들이 탄생하였다. (…)

3 연속함수의 중요성 [ 편집 ]

위상수학이 연속함수를 다루는 학문이라고 해도 무방할 정도로, 연속함수는 위상에서 매우 중요한 역할을 한다. 먼저 처음 배우는 일반위상에서, 연속함수는 많은 위상적 성질을 보존한다. 예를 들어:[1]

컴팩트성

수열의 수렴성

Connectedness and path connectedness

sequential compactness

Countable compactness

σ-compactness

Lindelöf property and separability

하지만 다음과 같은 성질은 보존되지는 않는다:

열림 또는 닫힘: 열린 함수와 닫힌 함수의 정의가 의미를 가지도록 한다. 함수의 열림/닫힘과 연속성은 무관하며, 이 사실은 거리공간에 국한했을 때에도 성립한다.

locally (path) connected, locally compact, Hausdorffness

연속함수는 Top category의 morphism으로, 범주론적 접근을 가능하게 한다. 게다가 범주론의 여러 확장들은 위상수학에서 모티브를 얻었으며, (이름이 같으면) 위상수학에서의 정의를 포함한다.

또한 어떤 함수가 bicontinuous이면, 즉 원래 함수(전단사)와 그 역함수가 모두 연속이면, 이를 위상동형(homeomorphism)이라고 부르며, 위에서 보존하지 않던 위상적 성질도 보존하게 된다. 이는 Top의 isomorphism이다.

4 각주

[수2 이론 10탄] 함수의 연속 01

01.함수의 연속을 시작하면

함수의 연속에 대한 의미를 이해를 한 후에 연속이 되기 위한 조건을 이용하여 연속과 불연속을

판단하는 문제들을 풀게 되는데 기본서에서 언급되는 정도의 내용을 좀 더 확장시킨 연속과 관련된 내용들이 집요하게 출제가 됩니다. 그래서 이번 포스팅에서는 함수의 연속에 대한 개념과 이를 이용해서 만들어지는 문제들에 대해서 알아보고자 합니다.

내용이 길어서 2번으로 나누어서 설명이 실시할 예정입니다.

01. 함수의 연속과 불연속

02. 무한급수와 함수의 불연속과 연속

02.함수의 연속과 불연속

보통 연속함수라고 하면 그래프가 끊어지지 않고 계속 연결된 함수를 의미합니다.

이것을 수학적으로 표현을 하면..???

수학적으로 표현을 할 때 그래프를 그릴 수 있다면 금방 파악이 가능하겠지만 ..항상 그런 방법을 쓸수는 없기 때문에 수학적으로 정의를 했는데요

함수 f(x)가 x=a에서 연속

즉 위의 세조건 함수값, 극한값 , 함수값=극한값 만족할 때 f(x)는 x=a에서 연속이라고 합니다.

처음에는 잘 이해가 가지 않는데 그 이유는 왜 이런 조건들이 필요한지 이해를 못하는 경우가 많습니다. 좀더 쉽게 이해를 할려면 …연속인 아닌 경우를 보면 위 조건에 대한 이해가 훨씬 쉬워집니다.

위의 그래프에서 알수 있듯이 x=a에서 불연속이 되는 경우는

(1) 함수값이 존재 않는 경우

(2) 극한값이 존재하지 않는 경우

(3) 함수값과 극한값이 일치하지 않는 경우

세가지 중 한가지로 나오게 됩니다.

따라서 연속이 되기 위해서는 연속이 되기 위한 조건 3가지를 모두 만족해야 한다는 사실을

알수 있습니다.

03.무한급수와 함수의 연속과 불연속

이 부분은 예를 들어서 설명을 하겠습니다.

이 함수의 불연속점을 찾아라.

문제가 나왔다면 바로 문제에 적용하려면 문제가 발생하게 됩니다.

왜냐하면 전체 실수 구간중 어디서 발생하는지 알수 없기 때문입니다.

1단계 함수를 간단히 만들어야 합니다.

자세히 보니 무한등비급수 형태를 띠고 있기 때문에 초항과 공비를 먼저 파악해야 합니다.

2단계 그래프를 그리고 불연속점을 확인합니다.

이 기본적인 내용을 좀더 발전 시키면 아래와 같은 문제를 만들수 있습니다.

수능기출

실수 전체에서 정의된 다음 함수가 x=0에서 연속이 되기 위한

자연수 m의 최소값을 구하여라

일단 함수를 간단히 만들어야 합니다.

다항함수는 전구간에서 항상 연속이 됩니다.

따라서 x=0 이 되는 부분만 연속이 되게 만들면 됩니다.

f(0)=0 이기 때문에 극한값만 0 이이 되면 됩니다.

극한값이 0이 나오려면 m값이 5이상이면 x의 거듭제곱을 인수로 가지기 때문에 가능합니다.

따라서 함수가 연속이 되기위한 m의 최소값은 5가 됩니다.

여기까지가 함수의 연속에 대한 WINNER의 설명이었습니다.

[두 번째 수학이야기] 함수의 극한과 연속 – 함수의 연속

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 수학 2의 두 번째 이야기 함수의 연속입니다.

첫 번째, 함수의 연속

첫 번째로 함수의 연속에 대해서 알아보겠습니다.

함수의 연속이란

함수가 어떠한 부분에서 끊어져 있지 않고,

연속해서 정의되어 있는 함수를 뜻하는 것입니다.

그럼 함수가 연속인지 또는 불연속인지

어떻게 구분할 수 있을까요?

여기서 함수의 극한의 개념과

함수의 기본적인 개념이 같이 녹여져 있는데요.

바로 함수의 어떠한 지점에서의 극한값과

그 지점에 대한 함숫값이 일치하면 연속이라고 합니다.

이렇게 글로만 적어두면 이해하기 어려우실 수 있으니

간단한 함수 3개를 비교해서 보도록 할게요.

위 사진을 보면 f(x)는 x=1에서 극한값이 존재하고,

x=1에서 극한값과 함수값이 동일합니다.

g(x)는 x=1에서 극한값은 존재하지만

x=1에서 극한값과 함수값이 동일하지 않습니다.

h(x)는 x=1에서 극한값이 존재하지 않습니다.

그러므로 f(x)만이 x=1에서 “연속”이라고 할 수 있습니다.

정리해보자면

x=a에서 연속이라고 한다면 아래 조건을 만족합니다.

두 번째로 연속함수에 대해서 알아보겠습니다.

연속함수를 표현하기에 앞서

구간이라는 것을 알아야 연속함수를 구간에 대해서

표현할 수 있기 때문에 “구간”부터 알아보도록 할게요.

구간이란

열린 구간 : { x | a < x < b } = (a, b) 닫힌 구간 : { x | a ≤ x ≤ b } = [a, b] 반열린 구간 : { x | a < x ≤ b } = (a, b] 반닫힌 구간 : { x | a ≤ x < b } = [a, b) 이것을 구간이라고 합니다. 그럼 구간을 알았으니 구간을 통해 연속함수를 정의해보도록 할게요. 함수 f(x)가 어떤 열린구간에 속하는 모든 실수 x에서 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속이라고 합니다. 또 닫힌구간 [a, b]에서 정의된 함수 f(x)가 열린구간 (a, b)에서 연속이고 일 때, f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이라고 합니다. 즉, 닫힌 구간에서 연속이 되려면 (a, b) 열린 구간에서 연속이어야 하며, x=a에서 우극한의 값과 함숫값이 동일하고, x=b에서 좌극한의 값과 함숫값이 동일하면 연속입니다. 연속함수라는 것은 어떤 구간에서 연속인 함수를 그 구간에서 연속함수라고 합니다. 두 번째, 연속함수의 성질 첫 번째로 연속함수의 성질에 대해서 알아볼게요. 앞에서 연속이란 무엇인지 또 연속함수란 무엇인지에 대해서 배웠는데요. 이번에는 연속함수의 성질에 대해서 배워볼게요. 연속함수의 성질은 극한의 개념을 통해 증명이 가능합니다. 위 증명을 통해 아래와 같이 정리가 가능합니다. 두 번째는 최대, 최소 정리입니다. 최대, 최소 정리란 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 함수 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 라는 것이 최대, 최소 정리입니다. 위와 같이 닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 갖고 있죠? 어떠한 구간에서 연속함수라면 모든 함수는 최댓값과 최솟값을 항상 갖고 있다는 것을 알 수 있습니다. 세 번째는 사잇값의 정리입니다. 사잇값의 정리는 최대, 최소 정리의 연장선상에 있는 개념입니다. 여기서 주의할 점은 f(a)와 f(b) 값이 같지 않아야 된다는 조건을 유의해야 합니다. 오늘 수학 2 두 번째 이야기 함수의 연속은 여기까지 입니다. 오늘 하루도 다들 고생하셨습니다 ~

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