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픽의 정리(영어: Pick’s theorem)는 격자점 위의 단순 다각형에서 그 내부, 외부의 격자 수와 그 다각형의 넓이 사이의 관계를 설명하는 정리로, 이 정리는 오스트리아의 게오르그 픽(Georg Alexander Pick)에 의해 1899년에 만들어졌다.
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격자점 – 나무위키:대문
픽의 정리(Pick’s theorem) … 더욱 업그레이드하여 각 점이 모두 격자점인 정사각형의 개수를 구하라는 경우도 있다. 기울기가 일정한 일차함수로 …
Source: namu.wiki
Date Published: 1/10/2022
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도형의 넓이와 격자점: 픽의 정리, 민코프스키 정리, 블리히펠트 …
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Date Published: 12/6/2021
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픽의 정리 by 정연 유 – Prezi
픽의 정리는 단순하지만, 진보한 현대 기술을 이용하더라도 울산지도를 다각형으로 단순화하여 픽의 정리를 활용해 넓이를 구하는 방법보다 더 쉽고 정확한 기술은 …
Source: prezi.com
Date Published: 10/23/2022
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픽의 정리 (Pick’s Theorem)
픽의 정리 (Pick’s Theorem). J.Bear 2011. 12. 6. 10:15. 아주 신기한 이론이 있길래 긁어다가 포스팅 한다. ‘피타고라스의 창’ 이라는 블로그에 포스팅 되어있는 …
Source: jbear.tistory.com
Date Published: 7/12/2022
View: 7428
픽의 정리
저번 포스팅인 12가 왜 거기서 나와에서 가장 기본이 되는 정리로 픽의 정리(Pick’s theorem)가 등장했다. Restate하자면, 모든 꼭지점이 격자점인 격자다각형 에 대해 …
Source: udaqueness.blog
Date Published: 2/11/2021
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- Author: GMSPLEX_지엠에스플렉스_입시전문TV
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- Date Published: 2021. 8. 24.
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i = 9 , b = 13 , A = i + b / 2 − 1 = 14.5
픽의 정리(영어: Pick’s theorem)는 격자점 위의 단순 다각형에서 그 내부, 외부의 격자 수와 그 다각형의 넓이 사이의 관계를 설명하는 정리로, 이 정리는 오스트리아의 게오르그 픽(Georg Alexander Pick)에 의해 1899년에 만들어졌다. 모든 꼭짓점이 격자점 위에 존재하는 단순 다각형의 넓이를 A, 격자 다각형의 내부에 있는 점의 수를 i, 변 위에 있는 점의 수를 b라고 하면, 이들 사이에 다음의 식이 성립한다는 것이 알려져 있다. 이 내용이 “픽의 정리”이다.[1]
A = i + b 2 − 1 {\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1}
오른쪽 그림에서는 i의 값은 9이고 b의 값은 13이다. 픽의 정리를 사용하면 이 다각형의 넓이는 14.5임을 알 수 있다.
증명
기본 삼각형들로 분할된 다각형
이 증명을 위해서는 두 개의 보조정리가 필요하다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 i =0, b =3인 경우 그 넓이는 항상 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
=0, =3인 경우 그 넓이는 항상 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형을 기본 삼각형으로 분할할 수 있다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형 P {\displaystyle P} 를 N {\displaystyle N} 개의 기본 삼각형으로 나눈다. 증명전략은 N {\displaystyle N} 개의 기본삼각형의 내각의 합을 서로 다른 방법으로 구하여, 연립하는 것이다.
여기에서 모든 기본 삼각형들의 내각의 합 S {\displaystyle S} 를 나타내는 방법은 두 가지이다.
첫째로 삼각형의 내각의 합은 π {\displaystyle \pi } 이므로 S = N π {\displaystyle S=N\pi } 로 나타낼 수 있다.
둘째로는 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더하는 방법이 있다.
P {\displaystyle P} 내부의 점 i {\displaystyle i} 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 2 π {\displaystyle 2\pi } 이고, 따라서 모든 점 i {\displaystyle i} 에서 만들어지는 각들의 합은 2 i π {\displaystyle 2i\pi } 이다.
또, 꼭짓점이 아닌 변 위의 점 b {\displaystyle b} 에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 π {\displaystyle \pi } 이다. P {\displaystyle P} 가 k {\displaystyle k} 각형이라고 했을때, 모든 점 b {\displaystyle b} 에서 만들어지는 각들의 합은 ( b − k ) π {\displaystyle (b-k)\pi } 이다.
마지막으로, P {\displaystyle P} 의 내각의 크기의 합은 ( k − 2 ) π {\displaystyle (k-2)\pi } 이다.[2]
S = 2 i π + ( b − k ) π + ( k − 2 ) π {\displaystyle S=2i\pi +(b-k)\pi +(k-2)\pi } 이므로, 정리하면 모든 기본 삼각형의 내각의 합은 S = 2 i π + b π − 2 π {\displaystyle S=2i\pi +b\pi -2\pi } 라고 나타낼 수 있다.
S = N π {\displaystyle S=N\pi } 와 S = 2 i π + b π − 2 π {\displaystyle S=2i\pi +b\pi -2\pi } 를 연립하면 다음과 같다.
N π = 2 i π + b π − 2 π {\displaystyle N\pi =2i\pi +b\pi -2\pi }
여기서 양변을 π {\displaystyle \pi } 로 나누면
N = 2 i + b − 2 {\displaystyle N=2i+b-2}
두 번째 보조정리에서 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다고 했으므로 A = 1 2 N {\displaystyle A={\frac {1}{2}}N} 이 유도된다. 따라서
A = 1 2 N = 1 2 ( 2 i + b − 2 ) = i + b 2 − 1 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}N={\frac {1}{2}}(2i+b-2)=i+{\frac {b}{2}}-1}
이므로 픽의 정리가 성립함을 알 수 있다.[3]
오일러 지표와의 관계
픽의 정리는 오일러 지표로부터 유도될 수 있다. 이 관계를 알기 위해서는 “edge theorem”이라는 보조 정리가 필요하다.
i = 3 , b = 4 , e =3 i + 2 b − 3 = 14
“edge theorem”에 의하면 임의의 다각형에서 내부와 경계선 위의 점들을 연결하여 기본 삼각형들로 분할했을 때 생기는 변의 개수를 e {\displaystyle e} , 내부에 있는 점의 수를 i {\displaystyle i} , 변 위에 있는 점의 수를 b {\displaystyle b} 라고 할 때 다음이 성립한다.
e = 3 i + 2 b − 3 {\displaystyle e=3i+2b-3}
b {\displaystyle b} =3이고 i {\displaystyle i} =0이면 삼각형이 만들어지면서 e {\displaystyle e} 의 값은 언제나 3이고 위 등식을 만족한다. 이 삼각형 내부에 점을 한 개 추가하면( i {\displaystyle i} =1) 모서리의 수는 3만큼 늘어난다( e {\displaystyle e} =6). 이 경우 역시 위 등식을 만족한다. 변 위에 있는 점을 한 개 추가하는 상황에서 x {\displaystyle x} 개의 변 위에 있는 점들이 내부에 있는 점으로 바뀐다고 하면, e {\displaystyle e} 값은 ( x {\displaystyle x} +2)개 증가, b {\displaystyle b} 값은 ( x {\displaystyle x} -1)개 감소한다. 이 내용을 위 등식에 대입하면 마찬가지로 등식을 만족하게 된다. 따라서 i {\displaystyle i} 값과 b {\displaystyle b} 값에 변동이 있어도 위 등식은 항상 성립함을 알 수 있다.
오일러 지표에 의하면 평면 그래프에서 v {\displaystyle v} 가 꼭짓점의 개수이고, e {\displaystyle e} 가 모서리의 개수이고, f {\displaystyle f} 가 모서리들로 나누어진 면의 개수일 때 다음이 성립한다.
v − e + f = 2 {\displaystyle v-e+f=2}
이 등식을 이용하기 위해 꼭짓점이 격자점 위에 있는 격자다각형을 기본 삼각형들로 분할하고, 그 도형을 평면 그래프라고 생각한다. 그러면 삼각형 내부의 점과 변 위의 점을 합한 것이 v {\displaystyle v} 의 값이므로 v = i + b {\displaystyle v=i+b} 이고, ‘edge theorem’에 의해 e = 3 i + 2 b − 3 {\displaystyle e=3i+2b-3} 임을 알 수 있다. 이것을 위 등식에 대입하면
i + b − 3 i − 2 b + 3 + f = 2 {\displaystyle i+b-3i-2b+3+f=2}
f = 2 i + b − 1 {\displaystyle f=2i+b-1}
마지막으로 면의 수 f {\displaystyle f} 의 경우, 평면 그래프의 관점에서는 넓이가 무한한 면 한 개가 포함되어 있기 때문에 실제 면의 수는 기본 삼각형들의 수보다 하나 더 많다. 따라서 주어진 다각형을 분할하는 기본 삼각형의 수는 ( f − 1 ) {\displaystyle (f-1)} 이고, 각 기본 삼각형의 넓이는 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 이므로 주어진 다각형의 넓이는 A = 1 2 ( f − 1 ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(f-1)} 가 된다. 이 식을 앞에서 구한 식과 연립하면 다음과 같이 픽의 정리가 유도된다.[4]
1 2 ( f − 1 ) = A = 1 2 ( 2 i + b − 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(f-1)=A={\frac {1}{2}}(2i+b-2)}
A = i + b 2 − 1 {\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1}
도형의 넓이와 격자점: 픽의 정리, 민코프스키 정리, 블리히펠트 정리(Pick’s theorem, Minkowski’s theorem, Blichfeldt’s theorem)
유클리드 평면(좌표평면)에서 격자점이란 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점을 말하며, 고차원 유클리드 공간에서도 유사하게 모든 좌표가 정수인 점으로 격자점을 정의할 수 있습니다.
평면에서 단위 면적은 가장 작은 격자점 정사각형의 넓이와 같은 만큼 격자점은 면적과 비슷한 부분이 많아요. 예를 들어 격자점의 평균적인 밀도는 단위 면적당 하나이고, 따라서 복잡한 도형의 넓이를 추정할 때는 그 내부의 격자점 수를 세기도 합니다. 심지어 격자점으로만 이루어진 단순 다각형(구멍이 없고 자기 자신과 교차하지 않는 다각형)의 경우에는 격자점 수만 알아도 넓이를 정확히 표현할 수 있어요. 다음은 Pick의 정리입니다.
Pick’s theorem
격자점 단순 다각형의 내부 격자점 수를 I, 테두리 위의 격자점 수를 B, 넓이를 S라고 하면 S=I+B/2-1이다.
격자점 수에 의해서만 넓이가 완전히 결정된다는 점에서 신기하다고 할 수 있는 정리예요! 일단 I=0, B=3인 삼각형에 대해 증명하고, 두 도형에 대해 각각 픽의 정리가 성립한다면 두 도형을 이어 붙였을 때도 픽의 정리가 성립함을 보이는 방식으로 모든 도형에 대해 적용할 수 있습니다.
내부와 변 위에 격자점이 없는 삼각형의 넓이가 1/2라는 증명. 이처럼 평면을 채우면 삼각형 2개가 결합한 평행사변형 1개와 격자점 1개가 대응한다. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pick_triangle_tessellation.svg 일반적인 격자점 다각형의 분할. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Grid_polygon_triangulation.svg
하지만 픽의 정리는 격자점 다각형에 대해서만 적용할 수 있어 한계가 명확합니다. 대신 넓이가 넓으면 격자점을 포함하게 된다는 발상만은 일반화시킬 수 있는데, 이제부터 일반적인 도형의 넓이와 내부 격자점 수를 다루는 두 정리에 대해 알아볼까요?
첫 번째는 Blichfeldt의 정리입니다. 어떤 도형은 넓이가 크면서도 격자점을 잘 피해 다닐 수 있기 때문에 일반적으로 넓이가 얼마 이상이라고 꼭 내부에 격자점을 가지지는 않아요. 픽의 정리로 격자점 다각형을 다룰 때는 나타나지 않았던 문제점인데, 어떻게 해결할 수 있을까요? 이렇게 격자점을 피해 다니면서 넓은 도형을 그려 보면, 내부 격자점은 없더라도 적어도 그 부근에는 많은 격자점을 가지게 될 거예요. 그렇다면 조금 평행 이동해 주면 적당한 수의 격자점을 포함할 수 있을 거라고 생각해 볼 수 있습니다. 그리고 이 아이디어는 참입니다!
Blichfeldt’s theorem
넓이가 A인 도형을 평행 이동해 ⌈A⌉개 이상의 격자점을 포함하도록 할 수 있다. (단, ⌈A⌉는 A 이상의 최소 정수)
증명은 다음과 같습니다. 도형을 S라고 부르기로 하고, S가 놓여 있는 좌표평면을 단위 정사각형으로 나눈 다음 나누어진 조각을 평행 이동해 한데 겹칩니다.
Blichfeldt 정리의 증명. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blichfeldts_theorem.svg
이때 정사각형 내부에서 도형 조각이 몇 번씩 겹쳤는지 살펴볼까요? 모든 점에서 ⌈A⌉-1번 이하로 겹쳤다면 도형의 원래 넓이도 ⌈A⌉-1 이하가 됩니다. 그런데 ⌈A⌉-1
픽의 정리 (Pick’s Theorem)
‘피타고라스의 창’ 이라는 블로그에 포스팅 되어있는 내용이다.
아주 신기한 이론이 있길래 긁어다가 포스팅 한다.아… 주소를 모르겠어 제길 ㅋㅋㅋ 저작권을 확실하게 밝혀야하는뎅 ㅠㅠ
픽의 정리 – udaqueness
저번 포스팅인 12가 왜 거기서 나와에서 가장 기본이 되는 정리로 픽의 정리(Pick’s theorem)가 등장했다. Restate하자면, 모든 꼭지점이 격자점인 격자다각형 에 대해 그 경계선에 있는 격자점의 갯수(꼭지점도 포함)를 , 내부에 있는 격자점의 갯수를 라 하면 의 넓이는 이 된다는 정리이다. 보통 이 정리의 증명으로, 격자다각형 내부의 격자점들을 이용해 triangulate, 즉 격자삼각형들로 분할하고 그 갯수가 일정하게 나온다는 사실을 이용해서 증명하고는 한다. 여기서는 […]
삼각형이 없는 픽의 정리
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