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- 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
- 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. …
- 중점연결정리
- 피타고라스의 정리
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삼각형의 오심 – 나무위키
삼각형의 오심(五心), 즉 외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심을 서술하는 문서. 정삼각형은 방심을 제외한 사심(외심, 내심, 무게중심, 수심)이 같다.
Source: namu.wiki
Date Published: 9/18/2021
View: 1714
이등변삼각형의 정의와 성질 – winner
처음 부분은 이등변삼각형의 정의와 도형에 대한 용어를 먼저 알아보고 정의를 바탕으로 해서 파생되는 성질에 대해서 증명을 해보도록 하겠습니다.
Source: j1w2k3.tistory.com
Date Published: 6/1/2022
View: 3499
이등변삼각형의 성질 – 그린수학
이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 말합니다. 길이가 같은 두 변이 이루는 각을 꼭지각, 꼭지각의 대변을 밑변, 밑변의 양 끝 각을 밑각 …
Source: greenmath.tistory.com
Date Published: 11/18/2021
View: 268
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주제에 대한 기사 평가 삼각형 의 성질
- Author: EBS Learning
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- Date Published: 2020. 10. 23.
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삼각형 변과 각의 수 3 내각의 합 180°
삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭짓점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.
종류 [ 편집 ]
넓이 [ 편집 ]
밑변의 길이와 높이를 알 때 [ 편집 ]
밑변의 길이가 a {\displaystyle a} 이고, 높이가 h a {\displaystyle h_{a}} 인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)
S = a h a 2 {\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}
세 변의 길이를 알 때 [ 편집 ]
세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식)
S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
두 변과 끼인각의 크기를 알 때 [ 편집 ]
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S = b c sin A 2 = c a sin B 2 = a b sin C 2 {\displaystyle S={\frac {bc\sin A}{2}}={\frac {ca\sin B}{2}}={\frac {ab\sin C}{2}}}
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때 [ 편집 ]
세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S = a 2 sin B sin C 2 sin ( B + C ) = b 2 sin C sin A 2 sin ( C + A ) = c 2 sin A sin B 2 sin ( A + B ) {\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin C\sin A}{2\sin(C+A)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}}
세 변의 길이와 내접원 의 반지름의 길이를 알 때 [ 편집 ]
세 변의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 이고, 내접원의 반지름이 r {\displaystyle r} 이며, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S = r s {\displaystyle \ S=rs}
세 변의 길이와 외접원 의 반지름의 길이를 알 때 [ 편집 ]
세 변의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 이고, 외접원의 반지름이 R {\displaystyle R} 인 삼각형의 넓이 S {\displaystyle S} 는 다음과 같다.
S = a b c 4 R {\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}
세 변의 길이와 방접원 의 반지름 중 하나의 길이를 알 때 [ 편집 ]
세 변의 길이가 각각 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} 이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r a {\displaystyle r_{a}} , r b {\displaystyle r_{b}} , r c {\displaystyle r_{c}} 이며, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S = ( s − a ) r a = ( s − b ) r b = ( s − c ) r c {\displaystyle \ S=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}
세 각의 크기와 내접원 의 반지름의 길이를 알 때 [ 편집 ]
세 각의 크기가 각각 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 이고, 내접원의 반지름이 r {\displaystyle r} 인 삼각형의 넓이 S {\displaystyle S} 는 다음과 같다.
S = r 2 ( cot A 2 + cot B 2 + cot C 2 ) {\displaystyle S=r^{2}\left(\cot {\frac {A}{2}}+\cot {\frac {B}{2}}+\cot {\frac {C}{2}}\right)}
세 각의 크기와 외접원 의 반지름의 길이를 알 때 [ 편집 ]
세 각의 크기가 각각 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} 이고, 외접원의 반지름이 R {\displaystyle R} 인 삼각형의 넓이 S {\displaystyle S} 는 다음과 같다.
S = 2 R 2 ⋅ sin A sin B sin C {\displaystyle S=2R^{2}\cdot \sin A\sin B\sin C}
내접원 과 모든 방접원 의 반지름의 길이를 알 때 [ 편집 ]
내접원의 반지름이 r {\displaystyle r} 이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r a {\displaystyle r_{a}} , r b {\displaystyle r_{b}} , r c {\displaystyle r_{c}} 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S = r r a r b r c {\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}
2차원 직교좌표 [ 편집 ]
2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
S = | x 1 y 2 − x 2 y 1 | 2 {\displaystyle S={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}}
2차원 극좌표 [ 편집 ]
2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r 1 ,θ 1 ),(r 2 ,θ 2 )인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
S = | r 1 cos θ 1 r 2 sin θ 2 − r 2 cos θ 2 r 1 sin θ 1 | 2 = r 1 r 2 sin ( | θ 1 − θ 2 | ) 2 {\displaystyle S={\frac {|r_{1}\cos \theta _{1}r_{2}\sin \theta _{2}-r_{2}\cos \theta _{2}r_{1}\sin \theta _{1}|}{2}}={\frac {r_{1}r_{2}\sin(|\theta _{1}-\theta _{2}|)}{2}}}
n차원 좌표 공간 [ 편집 ]
한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를 X → , Y → {\displaystyle {\vec {X}},{\vec {Y}}} 라 하자. 2보다 크거나 같은 n차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를 S n {\displaystyle S_{n}} 라 하면
S n = 1 2 ( | X → | | Y → | ) 2 − ( X → ⋅ Y → ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\left|{\vec {X}}\right|\left|{\vec {Y}}\right|)^{2}-({\vec {X}}\cdot {\vec {Y}})^{2}}}}
이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여 X → = ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ) , Y → = ( y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) {\displaystyle {\vec {X}}=(x_{1}\,,x_{2}\,,x_{3}\,,…\,,x_{n}),\ {\vec {Y}}=(y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,…\,,y_{n})} 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.
S n = 1 2 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | x i y i x j y j | 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}^{2}}}}
벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.
성분의 증명에서 n = 2 {\displaystyle n=2} 인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다.
한 변의 길이가 a {\displaystyle a} 인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.
S = 3 4 a 2 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}
성질 [ 편집 ]
유클리드 기하학 [ 편집 ]
다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.
세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고.
삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
중점연결정리
피타고라스의 정리
사인 법칙
코사인 법칙
체바 정리/메넬라오스 정리
비유클리드 기하학 [ 편집 ]
지구 위에 그려진 직각삼각형의 예
비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.
기타 성질 [ 편집 ]
삼각형의 합동 조건 [ 편집 ]
삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다.
SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.
RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.
이등변삼각형의 정의와 성질
00.이등변삼각형의 정의와 성질
이번 시간에는 삼각형에서 제일 먼저 배우게 되는 이등변삼각형에 정의와 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
처음 부분은 이등변삼각형의 정의와 도형에 대한 용어를 먼저 알아보고 정의를 바탕으로 해서 파생되는 성질에 대해서 증명을 해보도록 하겠습니다. 증명과정에서는 삼각형의 합동 중 SAS를 사용하게 됩니다.
수학을 열심히 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
주요내용
01. 이등변삼각형의 정의
02. 이등변삼각형의 성질
01.이등변삼각형의 정의
02.이등변삼각형의 성질
이등변삼각형의 성질
이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 말합니다.
길이가 같은 두 변이 이루는 각을 꼭지각,
꼭지각의 대변을 밑변,
밑변의 양 끝 각을 밑각이라고 해요.
이등변삼각형의 성질: 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
이제 삼각형의 합동을 이용해서 이것을 증명해볼게요.
꼭지각 A의 이등분선을 그어 밑변과 만나는 점을 D라고 할게요.
그러면 $ \triangle{\rm ABD} \ $와 $ \triangle{\rm ACD} $가 생깁니다.
(1) $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC} $
(2) $ \angle{\rm BAD} = \angle{\rm CAD} $
(3) $ \overline{\rm AD} $는 공통
따라서, $ \triangle{\rm ABD} \equiv \triangle{\rm ACD} $ (SAS 합동)이므로 $ \angle{\rm B} = \angle{\rm C} $
이등변삼각형의 성질: 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
앞에서 $ \triangle{\rm ABD} \equiv \triangle{\rm ACD} $인 것을 증명했죠?
이 내용을 이용해서 증명을 해볼게요.
$ \overline{\rm BD} = \overline{\rm CD} $ (합동인 삼각형의 대응변) $ \angle{\rm ADB} = \angle{\rm ADC} $ (합동인 삼각형의 대응각) $ \angle{\rm ADB} + \angle{\rm ADC} = 180^\circ $이므로 $ \angle{\rm ADB} = \angle{\rm ADC} = 90^\circ $ 따라서, $ \overline{\rm AD} \perp \overline{\rm BC} $
1과 2에 의해서 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다는 것이 증명되었습니다.
이등변삼각형이 되는 조건
이등변삼각형에는 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.
반대로, 어떤 삼각형이 두 밑각의 크기가 같다면, 이 삼각형은 이등변삼각형일까요?
결론부터 말하자면,
네. 맞습니다.
두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.
이것을 증명해볼게요.
이번에도 삼각형의 합동을 이용할 거예요.
$ \angle{\rm A} $의 이등분선을 그어 $ \triangle{\rm ABD} \ $와 $ \triangle{\rm ACD} $를 만듭니다.
(1) $ \angle{\rm BAD} = \angle{\rm CAD} $
(2) $ \overline{\rm AD} $는 공통
삼각형 세 내각의 크기의 합은 $ 180^\circ $이므로 두 각의 크각 같으면 나머지 한 각의 크기도 같아요.
$ \angle{\rm BAD} = \angle{\rm CAD} $ 이고, $ \angle{\rm B} = \angle{\rm C} $이므로
(3) $ \angle{\rm ADB} = \angle{\rm ADC} $
따라서, $ \triangle{\rm ABD} \equiv \triangle{\rm ACD} $ (ASA 합동)이므로 $ \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC} $
키워드에 대한 정보 삼각형 의 성질
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