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고성능 컴퓨터가 고차원의 수학 방정식을 이용해 ‘최적의 선택’을 찾아내는 기술, 수학적 최적화(Mathematical Optimization)의 세계!
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수학적 최적화 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
최적화(最適化, 영어: mathematical optimization 또는 mathematical programming)는 특정의 집합 위에서 정의된 실수값, 함수, 정수에 대해 그 값이 최대나 최소가 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 7/4/2022
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제대로 배우는 수학적 최적화 – YES24
수학적 최적화 기본 지식을 배우기 위한 최적의 입문서이 책은 수학적 최적화라는 사고방식의 기초를 확실히 다지기 위해 최적화 문제로 모델링하는 …
Source: www.yes24.com
Date Published: 3/2/2022
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[서평] 제대로 배우는 수학적 최적화(우메타니 슌지 저.김모세 역 …
안녕하십니까, 간토끼입니다. 오늘은 한빛미디어의 <나는 리뷰어다 2021>의 일환으로 받은 제대로 배우는 수학적 최적화에 대한 서평을 작성해보도록 …
Source: datalabbit.tistory.com
Date Published: 9/24/2021
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제대로 배우는 수학적 최적화 최적화 모델링부터 알고리즘까지
이 책은 수학적 최적화라는 사고방식의 기초를 확실히 다지기 위해 최적화 문제로 모델링하는 법과 기본적인 최적화 알고리즘을 다룬다.
Source: www.kyobobook.co.kr
Date Published: 3/14/2022
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수학적 최적화 – Google Play 앱
부록에는 수학적 최적화에 대한 설명이 포함되어 있습니다. 업데이트 날짜. 2021. 4. 30. 도서/참고자료. 데이터 보안. 개발자는 앱의 데이터 수집 및 사용 방식에 …
Source: play.google.com
Date Published: 9/4/2022
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제대로 배우는 수학적 최적화 – 한빛출판네트워크
이 책은 수학적 최적화라는 사고방식의 기초를 확실히 다지기 위해 최적화 문제로 모델링하는 법과 기본적인 최적화 알고리즘을 다룬다.
Source: www.hanbit.co.kr
Date Published: 6/5/2022
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제대로 배우는 수학적 최적화 – 알라딘
수학적 최적화 기본 지식을 배우기 위한 최적의 입문서. 수학적 최적화라는 사고방식의 기초를 확실히 다지기 위해 최적화 문제로 모델링하는 법과 …
Source: www.aladin.co.kr
Date Published: 7/28/2021
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[리뷰] 제대로 배우는 수학적 최적화: 드디어 제대로된 최적화 책 …
위에서 예시로 든 다양한 최적화 문제는 수리 최적화 모델로 나타낼 수 있고, 수학적인 속성이나 문제를 해결하기 위한 알고리즘 설계를 통해 최적, …
Source: developer-kelvin.tistory.com
Date Published: 2/1/2022
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[Book] 제대로 배우는 수학적 최적화 – 생각많은 소심남
해당 포스트에서 소개하고 있는 “제대로 배우는 수학적 최적화” 책은 한빛미디어로부터 제공받았음을 알려드립니다.) 제대로 배우는 수학적 최적화 …
Source: talkingaboutme.tistory.com
Date Published: 5/4/2022
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[Book Review] 제대로 배우는 수학적 최적화
한빛미디어, 제대로 배우는 수학적 최적화. 한빛미디어에서 우메타니 슌지(현재 오사카대학교 교수 재직, 수학적 최적화 모델 및 알고리즘 구현 문제 …
Source: eehoeskrap.tistory.com
Date Published: 10/11/2022
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주제에 대한 기사 평가 수학적 최적화
- Author: LG그룹
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- Date Published: 2020. 3. 26.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
포물면 f ( x , y ) = − ( x 2 + y 2 ) + 4. {\displaystyle f(x,y)=-(x^{2}+y^{2})+4.} ( 0 , 0 , 4 ) {\displaystyle (0,0,4)} 붉은 점에서의 최댓값 을 갖는다.
최적화(最適化, 영어: mathematical optimization 또는 mathematical programming)는 특정의 집합 위에서 정의된 실수값, 함수, 정수에 대해 그 값이 최대나 최소가 되는 상태를 해석하는 문제이다. 수리 계획 또는 수리 계획 문제라고도 한다. 물리학이나 컴퓨터에서의 최적화 문제는 생각하고 있는 함수를 모델로 한 시스템의 에너지를 나타낸 것으로 여김으로써 에너지 최소화 문제라고도 부른다.
최적화 문제 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 최적화 문제 입니다.
최적화 문제는 다음과 같은 방법으로 표현한다.
수식: 함수 f : A → {\displaystyle \to } R 어떤 집합 A에서 실수 x 에 대해 의미: an elementx 0 in A such that f(x 0 ) ≤ f(x) for all x in A (“minimization”) or such that f(x 0 ) ≥ f(x) for all x in A (“maximization”).
위와 같은 공식은 선형 계획법 (linear programming)이라 한다. 실생활 및 이론적 문제 모두가 이와 같은 보편적 방법으로 해결할 수 있다.
함수 f의 값이 최소이거나 최대인 값을 찾으면 최적화 해법(optimal solution)을 찾은 것이 된다.[1] 최적화 문제의 종류에 따라서 최적해를 찾기 위한 방법은 최소화(minimization) 혹은 최대화(maximization)로 나눌 수 있다.
역사 [ 편집 ]
페르마와 라그랑주가 최적화를 정의하기 위한 미적분 기반 함수를 제시하였고, 뉴턴과 가우스는 최적화를 반복문을 통해 찾아가는 해법을 제시하였다. 역사적으로 최적화 분야에서 최초로 이름이 붙여진 용어는 선형 계획법이다.
계획법(programming)이라는 용어는 컴퓨터 프로그래밍(programming)과는 다른 용어이다. 미국에서 계획법이라는 용어는 조지 단치그의 연구 분야가 미국 육군에서 훈련과 수송 및 물류 업무에 활용되면서 널리 알려졌다.
주요 하위 분야 [ 편집 ]
convex / concave 계획법
integer 계획법
fraction 계획법
비선형 계획법
stochastic 계획법
stochastic 최적화
다중 객체 최적화 문제 [ 편집 ]
다중 해법 최적화 문제 [ 편집 ]
다중 해법 최적화 문제(multi-modal optimization)은 여러 개의 해법을 가지는 최적화 문제이고 그 전부의 cost function이 동일하여 모두가 좋은 해법인 문제이다.
컴퓨터를 통한 최적화 기술 [ 편집 ]
최적화 알고리즘 [ 편집 ]
반복 방법론 [ 편집 ]
휴리스틱 [ 편집 ]
같이 보기 [ 편집 ]
각주 [ 편집 ]
제대로 배우는 수학적 최적화
출판사 리뷰
수학적 최적화는 현실 속의 문제를 합리적으로 해결하는 방법 중 하나입니다. 수학적 최적화를 빠르게 이해하기 위해서는 문제를 최적화하기 위한 모델링 방법을 익히고 효율적인 알고리즘이 적용된 최적화 문제를 살펴봐야 합니다. 이 책은 수학적 최적화라는 사고방식의 기초를 확실히 다지기 위해 최적화 문제로 모델링하는 법과 기본적인 최적화 알고리즘을 다룹니다. 또한 이해를 돕기 위해 떠올리기 쉬운 구체적인 사례와 연습 문제가 수록되어 있습니다.
[이 책의 구성]1장_수학적 최적화 입문
수학적 최적화는 주어진 제약조건하에서 목적 함숫값을 최소(또는 최대)로 하는 설루션을 구하는 최적화 문제를 말하며, 현실 사회의 의사결정이나 문제를 해결하는 수단입니다. 1장에서는 예시와 함께 수학적 최적화의 개요에 대해 설명합니다.
2장_선형 계획
선형 계획 문제는 가장 기본적인 최적화 문제로, 대규모의 문제 사례를 현실적인 계산 수단으로 푸는 효과적인 알고리즘이 개발되어 있습니다. 선형 계획 문제의 정식화, 선형 계획 문제의 대표적인 알고리즘인 단체법에 대해 알아보고, 수학적 최적화에서 가장 중요한 개념인 쌍대 문제와 완화 문제를 설명합니다.
3장_비선형 계획
비선형 계획 문제는 적용 범위가 매우 넓기 때문에, 다채로운 비선형 계획 문제를 효율적으로 푸는 범용적인 알고리즘 개발은 어렵습니다. 비선형 계획 문제의 정식화, 효율적으로 풀 수 있는 비선형 계획 문제의 특징을 설명한 뒤 제약이 없는 최적화 문제와 제약이 있는 최적화 문제의 대표적인 알고리즘을 설명합니다.
4장_정수 계획과 조합 최적화 문제
선형 계획 문제에서 변수가 정숫값만 갖는 정수 계획 문제는 산업이나 학술 등 폭넓은 분야에서 현실 문제를 정식화할 수 있는 범용적인 최적화 문제 중 하나입니다. 정수 계획 문제의 정식화, 조합 최적화 문제의 어려움을 평가하는 계산 복잡성 이론의 기본적인 사고방식에 대해 알아봅니다. 또한 몇 가지 특수한 정수 계획 문제의 효율적인 알고리즘과 정수 계획 문제의 대표적인 알고리즘인 분기 한정법과 절제 평면법을 설명한 뒤, 임의의 문제를 예로 들어 근사 성능을 보증하며 실행 가능한 설루션을 구하는 근사 알고리즘과 많은 문제 사례에 대해 고품질의 실행 가능한 설루션을 구할 수 있는 국소 탐색 알고리즘 및 메타 휴리스틱에 대해 설명합니다.
[대상 독자]– 최적화 이론에 관심 있는 학생과 연구원 및 수학적 최적화와 관련 업무에 종사하는 실무자
– 수학 관련 전공자가 아니더라도 인공지능 분야나 기타 여러 산업 분야에서 최적화 알고리즘 적용에 대한 공부를 하고 싶은 독자
[서평] 제대로 배우는 수학적 최적화(우메타니 슌지 저.김모세 역/한빛미디어)
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안녕하십니까, 간토끼입니다.
오늘은 한빛미디어의 <나는 리뷰어다 2021>의 일환으로 받은 제대로 배우는 수학적 최적화에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다.
최적화(Optimization)는 들어보신 분도 있을 것이고, 그렇지 않은 분들도 계실텐데요.
제 블로그에 관심을 갖고 읽어보시는 분들이라면 알아야 할 주요 키워드입니다.
다만 최적화라는 키워드만 보았을 땐, 뜬금없지만 뭔가 약간 공정 과정이나 로봇? 등이 생각나는 어휘긴 합니다.
하지만 최적화는 기계학습(Machine Learning)이나 딥러닝을 공부하실 분들이 반드시 알아야 할!! 부분입니다.
간단하게 소개해보며 서평을 시작해보죠.
Q. 이 책은 어떤 책인가요?
당연하게도 수학적 최적화에 대해 다루는 책입니다.
수학적 최적화는 주어진 제약조건 아래 목적 함숫값을 최소(또는 최대)로 만드는 최적화 문제를 이용하여 현실 사회에서 의사결정이나 문제 해결을 실현하는 수단을 말합니다.
특히 이 책에서는 이 수학적 최적화의 입문서로서 최적화에 관한 많은 문제와 알고리즘을 소개하고 있습니다.
제 블로그를 보신 분들이 친숙할만한 회귀 문제(Regression Problem)를 최적화의 예시로 들어볼게요.
n쌍의 데이터 (x_i, y_i) 가 주어졌을 때, x와 y의 관계를 근사적으로 나타내는 함수를 구하고자 했었죠.
예를 들어 두 변수의 관계를 직선 y = ax + b 로 나타낼 때, 이 기울기계수 a와 절편 b를 구하기 위해 최소제곱법을 이용하였습니다.
이때 n쌍의 데이터가 한 직선 위에 놓여져있지 않으므로, 각 데이터에 대한 오차를 가능한 작게 해야했죠.
그래서 평균제곱오차를 최소화하는 것으로 x와 y의 관계를 근사적으로 나타내는 함수를 구하였는데,
이러한 방법을 최소제곱법(Least Squares Methods)라고 하였습니다.
그리고 최소제곱법을 통해 도출된 회귀계수를 최소제곱추정량이라고 하였죠?
이게 최적화의 쉬운 예시입니다.
주어진 목적함수를 풀음으로써 주어진 조건 하에서 최적의 답을 도출해내는 것을 말하죠.
이 책은 다양한 최적화 기법을 소개하고 있습니다.
사실상 수학 이론서라고 봐도 무방할 정도로 심도 깊은 내용을 소개하고 있어서. 미적분학의 기본기가 없으신 분들은 읽기 어려우실 수 있습니다.
추가로 다변수 함수에서의 최적화는 자연스럽게 행렬과 벡터를 다루게 되므로, 선형대수학에 대한 이해도 필요해보이네요.
1장에서는 수학적 최적화의 입문을 위한 기초 개념을 소개합니다.
2장에서는 가장 기본적인 최적화 문제인 선형 계획 문제에 대해 다루고 있습니다.
3장에서는 비선형 계획 문제를 소개하고, 4장에서는 정수 계획 문제와 조합 최적화 문제를 소개하고 있습니다.
그렇다면 왜 머신러닝을 공부하려는 사람이 최적화를 알아야 할까요?
바로 머신러닝 또한 대규모 데이터로부터 도출된 복잡한 비용함수를 최소화하는 해(Solution)을 찾는 최적화의 문제이기 때문이죠.
머신러닝을 공부해보신 분들이라면 누구나 알고 계실 경사하강법이 그러한 예 중 하나입니다.
복잡한 비선형 함수를 직접 푸는 것보다, 근사하는 방법을 이용하여 최적에 가까운 답을 도출하는 비선형 계획법 중 하나이죠.
이처럼 최적화는 우리의 일상 속에서 만연하게 쓰이고 있습니다.
저같은 경우는 경제학을 전공한 학부생으로서, 경제수학을 배울 때 최적화의 개념을 처음 접했는데요.
만약 어떤 사람이 5천원을 갖고 있는데, 사과와 아이스크림 중 어떤 걸 몇개씩 살지 고민하고 있다고 가정합시다.
이때 사과 1개를 사면 100만큼의 효용이 증가하고, 아이스크림 1개를 사면 50만큼의 효용이 증가하며,
사과 1개는 800원, 아이스크림 1개는 500원이라고 가정하면 이를 수리적으로 접근해볼 수 있을 겁니다.
사과 개수를 x, 아이스크림 개수를 y라고 할 때, 효용함수 U(x, y) = 100x + 50y 라고 할 수 있고, 비용함수 C(x, y) = 800x + 500y ≤ 5000 이라고 세울 수 있겠죠.이를 수학적 최적화를 이용해 풀면, 주어진 예산을 효율적으로 사용하고 효용도 가장 크게 할 수 있는 최적의 소비 조합을 찾을 수 있게 됩니다.이게 최적화의 기본이라고 할 수 있죠! 매력적이지 않나요?
Q. 그럼 누구에게 추천하는 책인가요?
이 책은 대학 혹은 대학원에서 수학적 최적화를 처음 학습하는 학생이나,
최적화의 개념을 실무에서 응용하고자 하는 실무자에게 추천하는 책입니다.
개인적으로는 경제학이나 통계학, 산업공학을 공부하는 학부생,
그리고 기계학습을 심도있게 공부하려는 분들에게 추천하는 책입니다.
저도 기계학습을 잘하고 싶은 사람으로서 최적화는 심도있게 공부해야겠단 생각이 점점 들더라고요.
그런 의미에서 이 책을 처음 보았을 때 ‘이건 무조건 신청해서 받아야헤…’ 라고 생각했답니다.
본인의 독서 목적에 따라 추천 방법이 나와있습니다.
이를 참고하셔서 어떻게 읽을지 판단하시면 되겠습니다.
Q. 이 책의 장점은 무엇인가요?
이 책의 가장 큰 장점은 시중에서 찾기 힘든 최적화 번역서라는 겁니다.
통상 최적화 책은 Convex Optimization라고 불리는 외국 서적들이 대다수였는데요.
위키 형식으로 모두를 위한 최적화였나… 암튼 훌륭하신 분들께서 만들어놓은 무료 파일이 있는데,위키 형식이다보니 이런 서적 형태의 학습서가 제겐 더 절실하긴 했습니다.그런 의미에서 최적화 책을 번역서로 심도있게 공부할 수 있다는 게 가장 큰 장점이지 않나 싶습니다.
또한 예제 문제뿐만 아니라, 예제에 대한 해설도 책에 수록되어 있습니다.특히 대학교 전공 서적이 예제만 있고 솔루션은 없어서 정말 화가 난 순간이 많았는데, 이 책은 그렇지가 않아서 좋습니다.
다만 내용이 어려운 만큼, 베이스가 없으면 정말 읽기가 힘들 거라 생각합니다.
그리고 일본어가 베이스인 원서를 번역하다보니 그 용어가 좀 어색해요.
설루션이라든지 … 뭐 근데 사실 수학 용어를 번역하는 것만큼 어색한 것도 없는 것 같습니다.
공부하시다보면 차라리 용어만큼은 원래 어휘를 사용하시는 편이 훨씬 낫긴 합니다.
아무튼 최적화에 대해 방대하고 자세히 다루고 있는 몇 안 되는 소중한 책입니다.
이 책을 통해 최적화에 관심을 갖고 계신 분들이 쉽게 접근하셨으면 좋겠습니다.
감사합니다.
잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 🙂
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“한빛미디어 <나는 리뷰어다> 활동을 위해서 책을 제공받아 작성된 서평입니다.”
– 간토끼(DataLabbit)
– University of Seoul
– Economics & Data Science
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제대로 배우는 수학적 최적화 최적화 모델링부터 알고리즘까지
이 책의 매력은?
마치면서
2021년 9월에 출간된 에 대해 소개합니다. 이 책의 부제는 ‘최적화 모델링부터 알고리즘까지’입니다. ‘수학적 최적화’는 주어진 제약조건 아래 목적 함숫값을 최소(또는 최대)로 만드는 최적화 문제를 이용하여 현실 사회에서 의사결정이나 문제 해결을 실현하는 수단입니다. 이 책은 수학적 최적화라는 사고방식의 기초를 확실히 익히기 위해 모델링하는 방법과 기본적인 최적화 알고리즘을 다루고 있습니다.이 책의 저자는 ‘우메타니 ̊지’이며, 일본 오사카대학교 대학원 정보과 교수로 재직 중에 있습니다. 역자는 김모세 님으로 번역에 대해서는 개인적으로 호불호가 있을 것으로 판단합니다.는 420여 페이지로 구성되어 있어 휴대하면서 읽기에 부담스럽지 않습니다. 다만 최근 출시된 한빛미디어 책은 전차책으로도 출간되므로 전자책을 읽을 수 있는 장치를 보유하신 분이라면 전자책으로 만나보는 것도 좋을 것 같습니다.한빛미디어 평가단에 참가하여 작성한 글이며, 한빛미디어에서 제공해준 책을 읽고 작성했음을 밝힙니다.는 수학적 베이스(선형대수, 미적분 등)가 탄탄한 분이라면 매력적인 책이라고 느껴질 것이고, 그렇지 않은 분이라면 어려운 책이라고 생각합니다.이 책은 수학적 최적화에 대한 설명을 시작으로, 선형 계획, 비선형 계획, 정수 계획과 조합 최적화 문제를 다루고 있습니다. 이 책의 장점은 다양한 예제를 활용하여 저자가 전달하고자 하는 메시지를 효과적으로 전달하고 있습니다. 어느 정도 기본 베이스를 내재하고 있는 분들은 이 책을 활용하여 다양한 수학적 최적화 법칙을 이해할 수 있습니다.이 책에서 아쉬운 점은 너무 수학적인 관점으로 집필(물론 수학을 전공하신 분들이 바라보면 다르게 바라볼 수도 있겠지만…)한 것 같습니다. 제가 CS 전공자라서 그런지는 모르겠지만, 컴퓨터를 활용하여 이 책에서 배운 이론들을 실험할 수 있는 환경을 제공했다면 독자들의 이해도를 조금 더 높여줄 수 있지 않았을까? 라는 생각이 들었습니다.이 책은 한 번 읽고 끝낼 수 있는 책은 아닙니다. 오랜 시간을 투자해야 하는 책입니다. 이 책에서 배운 지식을 독자의 내재된 지식과 결합하여 다양하게 활용할 수 있도록 시도해 본다면 조금 더 만족도가 높은 책으로 남을 것 같습니다.이 책을 신청할 때부터 ‘쉬운 책은 아니겠구나라’는 느낌이 들었습니다. 는 알고리즘과 데이터 구조, 미적분, 선형 대수 등의 기본적인 지식을 보유하고 있어야 합니다. 이 지식이 내재화되어 있지 않다면, 이 책과 함께 하는 시간이 즐겁지 않게 느껴질 수 있습니다. 하지만 이 책은 매력적인 책입니다. 이 책을 읽을 때, 너무 수식에 얽매이지 말고 저자가 이야기하는 문제 해결 방법의 본질에 집중해서 읽는다면, 조금 더 효과적일 것 같습니다.번역에서의 단어 선택은 조금 아쉬운 부분입니다. 다소 낯선 단어로 말미암아, 읽을 때 불편하게 느껴지는 부분이 있습니다.”한빛미디어 활동을 위해서 책을 제공받아 작성된 서평입니다.” 닫기
제대로 배우는 수학적 최적화
책의 리뷰에 앞서. 이 책은 어려운 책이다 @_@.. 기본적인 미적분과 선형대수 그리고 데이터 구조와 알고리즘의 유도식 및 점화식 등에 대한 지식 없이 이 책을 접한다면, 상당한 피로를 호소할 수 있다.
따라서 앞서 말한 지식들에 대해서 본인이 충분히 알고 있고, 이를 통해 보다 심화된 지식을 얻고자 하는 의지가 있는 독자 혹은 충분한 인내심을 가지고 반복하여 학습을 할 마음이 있는 독자들에게 권하는 책이다.
이 책은 세상의 현상들을 수학적으로 해석한 책이다. 솔직히 우리가 살고 있는 세상은 수학으로 이뤄진 세상이며, 다만 우리는 이를 가시적으로 보고 이해하기에 세상을 이루는 것은 수학이 아닌 물질 그 자체라고 생각하는 것이리라 생각된다.
딥러닝도 그렇고 우리가 생각하는 뇌의 역치도 그렇고 각 신경들 전달 물질, 나아가 원자와 핵 모두가 물리, 즉 논리로 이루어져 있다. 어느 하나 논리(수학)이 빠지지 않은 것이 없다. 아마도 논리가 없다는 것은 진정한 무일 것이다. 즉 void(null)이 되는 것이다.
아.. 책에 들어가기 전에 사문이 길었다. 이 책은 앞서 말한 것과 같이 세상의 문제들을 수학적으로 표현하여 이를 지해롭게 해결하기 위한 접근법과 해석하는 방법에 대해서 설명하고 있다.
【책의 구성】 ‘제대로 배우는 수학적 최적화’의 책의 구성은 어떠한가.
이 책은 CONTENTS를 제외한다면 총 4개의 챕터로 구성되어 있으며 연속 최적화 문제, 이산 최적화 문제 두 개의 그룹으로 나누어 책의 내용이 구성되어 있다.
솔직히 연속 최적화 문제는 블로거에게 큰 흥미가 없어서 이산 최적화 문제의 챕터들만 몇 가지 추려 중점적으로 리뷰해 보았다. (그렇다고 연속 최적화 문제가 중요하지 않다는 것은 아니므로 반드시 읽어보시길 권장한다.)
각 챕터의 구성은 소쳅터를 중심으로 해당 알고리즘의 배경을 설명하고, 이에 대한 시간 복잡도와 점화식을 단계?라는 형태로 표현하고 있다. (각 챕터마다 구성이 조금씩 상이하기에 정확히 이러하다고 단정 짓긴 어려운 구조이다.) 또한 수리적 식이 자주 등장하는데 이해하고 보면 그리 어려운 수준은 아니다.(앞서 말한 지식들에 대해서 충분히 알고 있다면 말이다.!) 그렇기에 시간을 들여 차근차근 읽어보면 충분히 이해하고 지식을 얻어 갈수 있는 책이다.
4챕터 : 탐욕 알고리즘
탐욕 알고리즘에 관한 수리적 접근을 설명하고 있다. 일반적으로 전산 학부에서 배우는 탐욕 알고리즘이란. 바로 앞에 있는 최대치를 취하여 최종적으로 가장 높은 이익을 취하는 알고리즘을 의미한다.
하지만 보편적으로는 위의 알고리즘을 이용한 접근이 설루션이 될 수 있지만, 냅색(knapsack) 알고리즘처럼 탐욕 접근법으로 해결을 시도했다간 낭패를 보는 경우도 있다는 것을 명심하도록 하자.
간략하게 여기서 정리한 탐욕 알고리즘의 수리적 조건은 하기와 같다.
초기 설루션의 조건은 하기와 같다. (순수 우리 표현에 따르면 솔루션이 아닌 설루션이 맞다.[책에는 설루션으로 쓰여있음])
– 초기 설루션 x = (0,0,0) t로 한다. (초깃값을 의미. 0으로 배열을 초기화함을 의미한다.)
– 시그마 xi = B를 만족하면 종료한다. ( 즉 사용할 수 있는 최댓값에 달하면 그리드 탐색은 더 이상 수행하지 않음을 의미한다.)
– di(xi)-max dk(xk)를 만족하는 사업 j를 구한다. xj = xj +1로 하고 단계 2로 돌아간다. (즉, 변화량 최대 치의 값을 만족하는 각 값들의 합을 의미함)
이를 통해 해당 알고리즘의 대략적인 수리적 점화/접근 식을 얻을 수 있으며, 이를 수학적으로 추론함으로써 시간 복잡도 역시 어느 정도 예측이 가능해진다.
복잡해 보이지만 알맹이를 이해하면 그리 어렵지? 않은 흐름이다.
4챕터 : 동적 계획법 // 최소 비용 탄성 매칭 문제
앞서 탐욕 알고리즘에 대해서 간략하게 살펴보았다. 그렇다면 당연히 동적 계획법에 대해서도 살펴봐야 하는 것이 알고리즘의 스텝이라면 스텝이라 할 수 있다.
점화식과 수식을 세우는 것도 모든 상황에 따라 다양할 수 있다. 따라서 아래의 예시는 하나의 예시일 뿐임을 사전에 말씀드린다.
– f(1,1) = c11로 정의하며, f(i, 1) = f(i-1,1) + c_{i1} ( i = 2, .., m)으로 정의한다. (초기 DP Table을 설정하는 단계이다.)
– j = n 이면 종료한다. 그렇지 않으면 j = j+1로 한다. (종료 조건과 다음 스텝으로 넘어갈 조건에 대해서 명시한다.)
– f(1, j) = f(1, j-1) + cj로 한다. f(i, j)=min{f(i-1, j-1), f(i-1, j), f(i, j-1)} +cij(i=2, .., m)으로 하고 단계 2로 돌아간다. (실제로 DP Table을 이용한 값을 도출하는 부분이다. 이전 수행했던 값들을 기반으로 현재 최상의 값을 구하는 스텝이라고 생각하면 된다.)
우리가 일반적으로 프로그래밍 대회나 혹은 알고리즘 스터디를 하다 보면 배우는 내용을 수리 식으로 정리한 내용들이다. 보기엔 어려워 보이나 앞서 언급한 것처럼 내용을 알고 보면 이해하기에 그리 어렵지 않음을 알 수 있다.
【 “제대로 배우는 수학적 최적화”를 읽고서…….】
이 책은 수리학에서 사용하는 용어가 많이 등장한다. 굉장히 나에겐 생소했던 부분이기도 하다. 가령 하강 방향이라던가 수렴비라던가 국소 수렴성이라던가 라그랑주 제곱수라는 표현이라든가 굉장히 생소한 용어들이다. 이제껏 전산학을 나름 오래 해 왔으나 한 번도 들어보진 용어들이다. 아마도 수리학 분야에서 사용하는 용어들이나 공식 혹은 정리들이지 않을까 싶다.
전산학도 어찌 보면 수리학에서 시작한 학문이라 할 수 있다. 다만 전산학의 경우 이산수학에 그 기틀을 다지고 있다고 봐도 과언이 아닐 것이다. 그만큼 수학과 전산학은 때려야 땔 수 없는 관계에 있는 것이다.
이번 리뷰에서는 내가 잘 아는 부분을 중심으로 챕터 내용을 요약해 보았다. 다른 부분들도 위와 크게 다르지 않다. 가정을 세우고 가정을 검증하고 가정대로 수행하고 최종적으로 가정을 입증(증명) 하는 과정으로 책의 구성이 이루어져 있다.
다만 확실한 것은 이 책은 한번 읽고 덮는 그런 책은 아니라는 것이다. 내용이 무겁다. 한번 읽어서는 확실히 내 것으로 만들 수 없다. 필자도 서문에서 언급하였듯, 책을 여러 번 숙독하고 회독해야 최종적으로 내 것으로 만들 수 있는 그런 책이다.
그렇기에 꾸준한 마음으로, 한결같은 호기심으로 전산학전 난제와 접근법을 수리적으로 표현하고 해석하여 풀이할 준비가 되어있는 사람들이 이 책으로 공부한다면 틀림없이 많은 것을 얻어 갈 수 있을 것이라 생각된다.
#본 도서는 “한빛미디어 <나는 리뷰어다> 활동을 위해서 책을 제공받아 작성된 서평입니다.
###### 감사합니다 ######
[리뷰] 제대로 배우는 수학적 최적화: 드디어 제대로된 최적화 책이 나왔다.
서론
우리는 많은 상황에서 최적화라는 말을 사용합니다. 네비게이션의 최단경로찾기나 프로젝트의 마감을 준수하면서 비용을 최소화, 혹은 인력을 최대로 활용하기위한 일정 계획, 혹은 여러 공장들을 가진 기업에서 물류창고를 짓기 위한 입지 선정 등 많은 최적화 문제들이 존재하고 이를 해결하고자 하는 수요는 항상 존재해왔습니다. 이런 문제들을 해결하기 위해 주어진 제약조건들 하에서 이익이나 비용등을 나타내는 목적함수를 최대/최소화 하는 해를 구하는 것을 수리 계획법, 혹은 수학적 최적화라고 합니다.
위에서 예시로 든 다양한 최적화 문제는 수리 최적화 모델로 나타낼 수 있고, 수학적인 속성이나 문제를 해결하기 위한 알고리즘 설계를 통해 최적, 혹은 최적에 가까운 해를 찾아낼 수 있습니다. 특히, 많은 분들이 딥러닝을 접하며 한번쯤 들으셨을 경사하강법(gradient descent) 또한 손실 함수를 최소화 하기 위한 파라미터(해)를 찾기 위해 기울기라는 수학적 속성을 이용하여 해를 찾아 나가는 최적화 문제를 풀기위한 알고리즘입니다.
이 책의 내용
수리적 최적화를 공부하는 입장에서 이 책은 대학원, 혹은 산업공학과 4학년 전공교재로 사용해도 좋을 것 같다는 생각이 들 정도로 알차게 구성되어 있습니다. 책의 두께가 생각보다 얇아서 많은 내용을 얕게 다루지 않을까 걱정했는데, 그 생각이 기우일 정도로 한장한장 가득 채워 내용이 담겨있습니다.
이 책에서는 산업공학, 컴퓨터공학을 전공하며 한번씩 들어보았을 선형계획법 문제부터 비선형 계획법, 정수 계획법, 조합 최적화 등의 주제를 다루고, 그 안에서 각 문제의 수학적 특성과 문제를 해결할 수 있는 알고리즘에 대해서 소개하고 있습니다. 그 뿐만 아니라 후반부에서는 메타휴리스틱 기법까지도 다루며 독자들에게 최적화 문제를 풀 수 있는 직관적이고 검증된 방법론에 대해서 설명합니다.
이 책을 읽으며 여러 점이 인상깊었는데, 첫 번째로 선형 계획법 문제를 해결할 때 많이 사용되는 심플렉스 알고리즘(단체법)을 표가 아닌 수리적 특성을 기반으로 설명해 준다는 것입니다. 많은 경영 과학 수업에서 이 알고리즘을 간략하게 배우거나 표를 이용하여 푸는 방법을 배우게 되는데, 표 기반의 심플렉스 알고리즘은 좋은 프레임워크이기는 하나 그 이론적 배경을 모두 이해하지 않고 단순히 행렬의 기본행 연산만 수행하는 꼴이 되는 경우가 많습니다. 심플렉스 알고리즘의 수학적 배경까지 모두 설명하면서 알고리즘을 만들어가는 부분이 있다는 점에서 대학 교재로 사용되는 책들보다 훨씬 더 훌륭하다고 느껴졌습니다.
두 번째로 인상깊었던 점은 비선형 계획법에 있었습니다. 비선형 계획법에서 반드시 알아야 할 볼록 집합, 볼록 함수, 그리고 subgradient와 semidefinite이라는 개념을 소개하고 이를 하나로 연결시키는 부분에서 간결하면서 필요한 정리와 증명을 통해 풀어나가는 스토리텔링이 아주 좋다고 느껴졌습니다. 적당한 난이도와 적절한 수준의 내용으로 필요한 개념을 이해시키는 것이 매우 어려운 일인데도 매끄럽게 잘 풀어나가는 점이 인상깊었습니다.
아쉬운점
열심히 latex 작업하셨을 역자님과 편집자님께는 죄송하지만, 수식에 오탈자가 타 책에 비해 많아 보였습니다. 타 책에 비해 압도적으로 많은 수식이 있기도 하고 전공자이기 때문에 꼼꼼히 보기도 해서 그럴 수 있지만, 수식으로 풀어나가는 이야기가 많은 책이기에 조금 아쉬움이 남았습니다.
그리고 설루션이라는 번역이 조금 어색하다고 느껴졌습니다. 흔하게 쓰이는 ‘솔루션’, 혹은 ‘해’로 표기해도 되지 않았을까 하는 생각이 들었습니다.
대상 독자
최적화를 조금 더 깊게 공부하고 싶은 산업공학과 전공자들에게 먼저 추천하고 싶습니다. 수학적인 내용이 많기 때문에 비 공학 출신 분들에게 권하기는 조금 어려울 것 같고 미적분학, 선형대수 강의를 수강하고 선형계획법에 대해서 공부한 적 있는 분들이 본다면, 수업에서 배웠던 내용보다 조금 더 넓은 세계를 볼 수 있는 지도가 되지 않을까 생각됩니다.
딥러닝에 관심이 많아 이 책을 보려고 하시는 분들은 비선형 계획법과 책 중간중간에 등장하는 최적화에 관련된 이론들(KKT 조건 등)이 도움이 되실 것 같습니다. 최적화 관점에서 보자면, 딥러닝의 파라미터를 찾는 방법도 최적화 문제이기 때문에 기존과는 조금 다른 관점에서 딥러닝을 살펴보실 수 있는 기회가 될 것 같습니다.
또한 정수 계획법과 조합 최적화 부분은 잘 알려진 외판원 문제(TSP)나 최단 경로 문제도 다루고 있을 뿐 아니라 동적 계획법이나 크루스컬 알고리즘 등 관련된 알고리즘도 다루고 있기 때문에 컴퓨터 공학이나 알고리즘을 공부하시는 분들에게도 참고하기 좋은 내용들이 많이 있습니다.
추천합니다
산업공학에서 최적화에 대해 더 공부하고 싶으신 분
딥러닝을 최적화 관점에서 바라보고 싶으신 분
알고리즘 등에 대해 공부하고 싶으신 분
추천하지 않습니다
미적분학, 선형대수학에 대한 이해가 부족한 분
수리적인 내용이 싫으신 분
사설
수학적 최적화를 다루는 괜찮은 책이 없어서 제가 하나 써볼까 라는 생각을 했었는데, 그 생각을 접게 만들 정도로 잘 써진 책입니다. 출간되었다는 소식을 듣고 꼭 읽어보고 싶었는데, 좋은 기회에 책을 읽어볼 수 있게 되어 너무 좋았습니다. 만약 관심이 있고 함께 스터디를 하고 싶으신 분들은 댓글 남겨주시면 다음에 같이 공부해 봐도 좋을 것 같습니다.
“한빛미디어 <나는 리뷰어다> 활동을 위해서 책을 제공받아 작성된 서평입니다.”
[Book] 제대로 배우는 수학적 최적화
(해당 포스트에서 소개하고 있는 “제대로 배우는 수학적 최적화” 책은 한빛미디어로부터 제공받았음을 알려드립니다.)
아마 중학교 때부터 사람들이 방정식이라는 것을 접하고, 수학이라는 게 참 어려운 것이 답, 혹은 해를 찾는 것이라는 것을 깨닫는다. 물론 이차방정식, 삼차방정식은 해를 풀 수 있는 기법들이 제공되어 쉽게 풀 수 있다고는 하지만, 이런 식들을 다른 식들과 연계되면 그 해를 구하는 과정이 조금 더 복잡해진다. 재미있는 것은 대학교를 졸업하고, 취업을 해도 이 해를 구하는 과정은 계속된다는 것이다. 오히려 학생때 접했던 것처럼 명확한 수학 공식이 아니라, 글로 표현된 현상을 이해하고, 이에 대한 최적점을 찾는 것이다. 보통 이런 과정을 Optimization, 최적화라고 표현하는 것 같다.
인공지능 영역에서도 이 최적화과정이 필요하다. 신경망을 학습시킬 때도 예측값과 실제값간의 오차를 줄이기 위한 최적의 해를 찾아야 하고, 강화학습을 적용해서 길을 찾는 에이전트를 학습시킬때도, 각 상태가 제공하는 정보를 조합하여 최적의 경로, 혹은 정책을 찾는 일을 해야 한다. 물론 현재는 이런 최적화를 자동으로 해주는 도구들도 많이 나와있기 때문에, 예전처럼 현상을 수식으로 모델링하고, 손으로 직접 풀어야하는 수고로움은 조금 덜어졌지만, 그래도 단순히 도구를 쓰는 것에서 넘어서, 원론적으로 최적화에 대한 이해를 하려면, 그런 수고로움도 어느정도 감내해야 하지 않을까 싶다.
제대로 배우는 수학적 최적화
이번에 소개할 책은 전형적인 “수학”책이다. 아마 고등학교때 접했던 “수학의 정석”이나, 혹시 대학교에서 수학 관련 수업을 듣고 오래 지났다면, 이 책이 익숙해지기 전까지는 조금 시간이 필요할 것이다. 여기서 전형적인 “수학”책이라고 한 것은 책안에 담고 있는 내용들이 실무에서 바로 적용할 수 있을 법한 어떤 실용적인 기법들을 담고 있는 것이 아니라, 수많은 정의와 정리, 증명, 그리고 예시들이 담겨져 있다는 것이다. (사실 책 소개 홈페이지에서 책의 난이도를 초중급으로 표기했는데, 개인적으로는 이 책에서 다루고 있는 내용은 적어도 중고급의 수준은 아닌가 싶다.)
나는 개인적인 필요성에 의해서 이 책을 선택했다. 사실 하고 있는 일이기도 하지만, 주어진 데이터들이 있을때, 이를 어떻게 하면 선형 방정식으로 잘 모델링하고, 이에 대한 최적화를 수행하는 것이 필요하다. 강화학습에서도 우리가 모르는 환경에 대해서 잘 모델링하고, 이 모델에 대한 해를 찾아야 최적제어를 할 수 있는데, 그런 과정이 너무 어렵다. 특히 나는 수학 전공도 아니었기 때문에, 단순히 해석학에서 다루는 수준의 내용만 알고 있었던 터라, 기본적인 최적화 이론에 대한 복습부터 예시에 적용해볼 수 있는 이론들에 대해서 살펴볼 필요가 있었다.
이 책은 전체적으로 다음과 같이 크게 4가지 영역으로 나눠서 책의 내용을 설명하고 있다.
수학적 최적화 입문
선형 계획 (Linear Programming)
비선형 계획 (Non-Linear Programming)
정수 계획과 조합 최적법 (Integer Programming & Combinational Optimization)
보통 수학적 최적화이라고 하면 언급되는 연속 최적화 문제와 조합 최적화 문제에 대한 내용이 담겨져 있으며, 각 주제별로 배우고 싶은 독자도 입문 파트에 소개되어 있는 패스대로 책을 살펴보면 전반적인 최적화 내용을 살펴볼 수 있다. 이 책이 좋은 점은 정의와 정리의 내용을 뒷바침할 수 있는 다양한 예시들이 제공되는 점이고, 각 장별 마지막에 제공되는 연습문제에도 해설이 달려있어, 내용 복습에 도움이 될 수 있다는 것이다. 특히 비교적 최근에 많이 다뤄지는 조합최적법에서는 아마 알고리즘에 대해서 공부한 사람이라면 한번쯤 들어봤을 법한 동적 계획법이나 외판원 문제에 대한 수학적 해석법이 담겨있어서, 단순히 코드로 문제 해결을 구현하기 보다는 문제에 대한 원론적인 이해를 해보려는 사람한테는 지식을 넓게 확장시킬 수 있지 않을까 생각된다.
책의 원서가 일본어로 되어있다보니, 책에서 번역된 용어들이 한문에서 읽어온 것처럼 부자연스러운 부분은 살짝 있다. 서두에서도 언급했다시피 나는 최적화 수업을 들어본 적이 없기 때문에 바르게 쓰이는 용어에 대해서는 잘 알지 못하나 duality같은 용어를 쌍대로 표현하고, 어떤 용어는 영어 그대로 풀어쓴 부분도 있어서 좀 어색한 느낌이 있었다. 내용과는 별개인 것이긴 하지만…
사실 최적화 이론에 대해서 공개된 강의나 책이 많지 않기 때문에 일반적인 사람이 단순히 호기심만 가지고 접근하기에는 너무 심화된 주제이긴 하다. 나같은 경우에도 찾다찾다 Stanford에서 공개한 Convex Optimization 강의(Boyd 교수가 진행한 내용인데, 무료로 수강할 수 있다.)를 통해서 대략적인 내용만 파악하는 정도였었고, 내용 자체가 너무 어려웠다.
그래도 어느 정도 입문부터 최적화에 활용할 수 있는 알고리즘이나 도구, 예시에 대한 소개가 곁들여진 책이 나와서 옆에 두고 볼 만한 책이라 생각한다. 뭔가 실무에 바로 적용할 수 있는 마법과 같은 책이 아니지만, 책에서 소개된 이론에 대한 명확한 이해가 이뤄진다면, 최적화가 필요한 다른 분야에도 쉽게 적용할 수 있지 않을까 싶다.
[Book Review] 제대로 배우는 수학적 최적화
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한빛미디어, 제대로 배우는 수학적 최적화
한빛미디어에서 우메타니 슌지(현재 오사카대학교 교수 재직, 수학적 최적화 모델 및 알고리즘 구현 문제 연구중)가 집필한 “제대로 배우는 수학적 최적화”라는 책이 출간되었다. 수학적 최적화라는 개념 자체가 꽤나 다양한 영역에서 다양한 문제로 나타나고 있기 때문에, 베이직한 개념을 숙지해두고, 여러 기법들을 다 알진 못하더라도, 짧게라도 키워드 등으로 기억해두면, 앞으로 실무에서 다양한 문제를 푸는 중요한 Key가 될 수 있을 것 같기 때문에 이 책을 읽게 되었다.
나의 짧은 지식으로 수학에서의 최적화라는 것은 특정한 수학적 문제에 대한 값이 최대나 최소가 되는 방향으로 해결하는 것이라고 알고있다. 이 책에서 말하는 수학적 최적화란 아래와 같다.
주어진 제약조건 아래 목적 함숫값을 최소(또는 최대)로 만드는 최적화 문제를 이용하여 현실 사회에서 의사결정이나 문제 해결을 실현하는 수단이다.
수학적 최적화 절차는 현실 문제를 최적화 문제로 정식화하고, 이 최적화 문제는 상수, 변수, 제약조건, 목적함수 라는 요소로 이루어져있다. 그 다음 알고리즘을 이용하여 솔루션을 구하게 되면 계산결과를 분석 및 검증하여 최적화 문제와 알고리즘을 재검토 하는 과정을 반복적으로 거쳐 해결책이 도출된다.
수학적 최적화 개념은 이 책만으로는 모든 범위를 다룰 수 없을 만큼 General 한 분야이기 때문에, 이 책에서는 그래도 최대한 가능한 많은 최적화 문제와 알고리즘을 소개해두었으며, 수학적 최적화에 대해 처음 접하는 사람들이라면 충분한 시간을 들이라고 조언해주고 있었다. 왜냐하면 이 책은 알고리즘과 데이터 구조, 미적분, 선형대수의 기본적인 지식을 전제로 하기 때문이다!
현실 문제에서 수학적 최적화를 이용하여 문제를 해결하기 위해서는 그 문제를 최적화 문제로 모델링 하기 위해 구체적인 기법이나 효율적인 알고리즘으로 알려져 있는 최적화 문제를 다양하게 알아야 한다. 실제로 현실에서 주어지는 문제를 최적화 문제로 모델링 할 때 기존의 최적화 문제를 잘 변형하거나 조합해야한다고 한다.
이 책의 목차는 간략하게 언급하면 아래와 같다.
1. 수학적 최적화 입문
2. 선형 계획
3. 비선형 계획
4. 정수 계획과 조합 최적화
Appendix 연습문제 정답 및 해설
책 도입부에서는 수학적 최적화 개념과 절차를 간단한 야채주스 문제로 설명하고 있었다. 수학적 최적화에서 “최적화 문제를 푼다”라는 표현은 “최적의 솔루션 하나를 구한다”를 의미하기 때문에 여러 최적의 솔루션이 존재할 가능성이 있다.
야채주스 문제 예시
야채주스에 포함된 식이섬유, 비타민 C, 철분, 베타카로틴의 필요량을 만족시키면서 제조에 필요한 원재료를 최소로 하기위해서는 어떤 야채를 얼만큼 구매해야하는가? 라는 문제에 대해 이것을 최적화 문제로 정식화 하고, 제약조건을 정의하고 이를 회귀문제라고 정의하여 기울기 a와 절편 b를 변수로 하여 평균제곱오차를 최소한으로 하는 직선을 구하는 문제로 정식화하였다. 이와 같이 평균제곱오차를 최소화하는 것으로 x와 y의 관계를 근사적으로 나타내는 함수를 구하는 방법을 최소제곱법(Least Squares Method)라고 한다.
이러한 모든 최적 솔루션을 구하는 문제를 열거 문제(Enumeration Problem)라고 하며, 최적화 문제에 반드시 최적 솔루션이 존재한다고 단정할 수는 없다. 최적화 문제는 다음 네 가지로 분류된다.
1. 실행 불능 : 제약조건을 만족하는 솔루션이 존재하지 않음 (실행 가능 영역이 공집합임)
2. 한계가 없음(유한하지 않음) : 목적 함숫값을 한없이 개선할 수 있으므로 최적 솔루션이 존재하지 않음
3. 한계가 있지만(유한함) 최적 솔루션이 존재하지 않음 : 목적 함숫값은 유한하지만 최적 솔루션이 존재하지 않음
4. 최적 솔루션이 존재함 : 유한한 최적값과 최적 솔루션이 존재함
이 책에서 소개할 최적화 문제와 알고리즘은 다음과 같다. 처음 이 책을 접하는 사람들이 순서와 공부 방향을 설정하기 위해 보면 좋을 것 같다. 개인적인 생각이지만, 현직 교수가 집필해서 그런지 딱 커리큘럼을 짜서 공부하려는 학생 또는 교수를 위한 책인게 느껴졌다(굿). 마지막에 연습문제도 있기 때문에 대학에서 수학적 최적화를 다루는 과목에서 교재로 로 쓰면 좋을 것 같은 책이다.
또한 앞서 설명했듯 이 책은 선형대수와 미적분, 그리고 기본적인 수학 알고리즘에 대한 이해가 있어야 책을 볼 수 있다. 그 만큼 벡터, 미분, 행렬, 부등식 등 정말 많은 수식들과 증명 문제들이 다수 포함되어 있기에 조금 어려울 순 있다 ^^;; 하지만 그 만큼 많은 내용을 담아냈고, 아무래도 최적화 문제는 실 생활에서 가장 많이 사용 될 수 있기에 사례들을 문제 마다 수록해 놓아서 이해하는데 어려움은 없었던 책이다.
한빛미디어 <나는 리뷰어다> 활동을 위해서 책을 제공받아 작성된 서평입니다.
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